Chapitre 4 : Régimes transitoires
140
c) • L’énergie dissipée par effet Joule dans la résistance R vaut :
• La loi des mailles donne pour
:
On multiplie les deux membres de l’égalité par
:
d’où :
On a :
et
On intègre chaque terme de l’égalité précédente sur la durée de la décharge de C dans
:
La variation de l’énergie électrostatique des condensateurs vaut :
La variation de l’énergie électrostatique emmagasinée dans le condensateur C est négative, car celui-ci fournit de
l’énergie au circuit.
On en déduit donc :
On retrouve bien le résultat précédent.
Exercice 2
a) Paramétrons le circuit comme l’indique le schéma ci-dessous :
Ᏹ J
Ri 2 dt
t = 0
t → + ∞
∫
U 0
2
R
------ -
e
2 t
τ
---- -
– d t
0
+ ∞
∫
U 0
2
R
------ -
τ e
2 t
τ
---- -
–
2
------------ -
–
+ ∞
0
τ U 0
2
2R
--------- -
1
2
-- -
CC ¢
C C ¢
+
----------------- U 0
2 .
=
=
=
=
=
t 0
Ͼ
u
Ri u′.
+
=
i
C′
du′
dt
-------C
du
dt
-----–
=
=
ui
d
dt
---- -
1
2
-- -Cu 2




–
Ri 2 d
dt
---- -
1
2
-- -C′u′ 2



 ,
+
=
=
Ri 2
d
dt
---- -
1
2
-- -Cu 2 1
2
-- -C′u′ 2
+



 .
–
=
puissance Joule
dissipée dans R
variation de l’énergie des
condensateurs au cours
du temps
ui
Cu
du
dt
----- -
–
d
dt
---- -
1
2
-- Cu 2




–
=
=
u′i
C′u ′
du ′
dt
-------- -
d
dt
---- -
1
2
-- C′u ′ 2



 .
=
=
C′
Ri 2 dt
0
+∞
∫
d
dt
---- -
1
2
-- -Cu 2 1
2
-- -C′u′ 2
+



 .
0
+∞
∫
–
=
Ᏹ J
∆Ᏹ elec ∆Ᏹ elec ′
+
(
) .
–
=
∆Ᏹ elec
1
2
-- -Cu ∞
( ) 2 1
2
-- -Cu 0
( ) 2
–
1
2
-- -C
CU 0
C C′
+
----------------



2 1
2
-- -CU 0
2 .
–
=
=
∆Ᏹ elec ′
1
2
-- -Cu′ ∞
( ) 2 1
2
-- -Cu′ 0
( ) 2
–
1
2
-- -C
CU 0
C C′
+
----------------



2
.
=
=
Ᏹ J
1
2
-- -C
CU 0
C C′
+
----------------



2
–
1
2
-- -CU 0
2 1
2
-- -C′
CU 0
C C′
+
----------------



2
–
+
1
2
-- -CU 0
2 1
C
C C′
+
----------------–




1
2
-- -
CC¢
C C¢
+
-----------------U 0
2 .
=
=
=
R 3
i 1
R 1
R 2
i 2
i 3
E
u
ቢ
ባ
KA_MPSI.book Page 140 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23