Exercices
Solutions des exercices
139
Exercices de niveau 1
Exercice 1
a) • L’intensité i du courant dans le circuit s’écrit :
soit :
Le condensateur C est étudié en convention générateur : il ne faut pas oublier le signe « – » dans l’expression de i .
En intégrant, on obtient :
Or, à t = 0, on a :
et
d’où :
.
• La loi des mailles donne :
soit :
L’équation différentielle vérifié par
est alors :
La constante de temps est
et la solution particulière constante est
La constante de temps τ n’apparaît que si l’équation est écrite sous sa forme canonique, c’est-à-dire si le coefficient de
est égal à 1.
La solution générale de cette équation différentielle est :
avec
La tension aux bornes du condensateur est continue, d’où :
soit :
La loi d’évolution de la tension
s’écrit :
avec
On en déduit donc :
La tension u′ croît au cours du temps, alors que la tension u décroît, ce qui est normal, car le condensateur C se
décharge dans le condensateur
b) L’intensité i du courant vaut alors :
soit :
i
C′
du′
dt
-------C
du
dt
------,
–
=
=
C′
du′
dt
-------- C
du
dt
-----+
0.
=
C′u′ Cu
+
cte.
=
u′
0
=
u
U 0 ,
=
C′u′ Cu
+
CU 0
=
u
Ri u′,
+
=
U 0
C′
C
----- -u′
–
RC′
du′
dt
-------- u′.
+
=
u′
RCC′
C C′
+
----------------du′
dt
-------- u′
+
CU 0
C C′
+
----------------- .
=
τ
RCC′
C C′
+
----------------=
u 2 ′
CU 0
C C′
+
----------------- .
=
u′
u′
u 1 ′ u 2 ′
+
CU 0
C C′
+
----------------- Ae
t
τ
-– ,
+
=
=
τ
RCC′
C C′
+
----------------- .
=
u′ t 0
=
(
)
0
CU 0
C C′
+
----------------- A,
+
=
=
A
CU 0
C C′
+
----------------- .
–
=
u′
u¢ t
( )
CU 0
C C¢
+
----------------- 1 e
t
t
-–
–



 ,
=
t
RCC¢
C C¢
+
----------------- .
–
=
u t
( )
U 0
C′
C
----- - u′ t
( )
–
U 0
C C¢
+
----------------- C C¢e
t
t
-–
+



 .
=
=
C′.
i
C′
du′
dt
-------C′
CU 0
C C′
+
----------------1
τ
-- - e
t
τ
-– ,
×
×
=
=
i t
( )
U 0
R
------ -e
t
t
-– .
=
Solution des exercices
KA_MPSI.book Page 139 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23