Exercices
137
un générateur de tension E. Déterminer u(t). Quel est
le facteur de qualité Q du montage ? On pose τ = RC.
Niveau 3
Alimentation d’un condensateur
par une tension créneau
Le condensateur de capacité C est alimenté par
l’intermédiaire d’une résistance R grâce à un générateur délivrant une tension créneau e(t) vérifiant la
propriété suivante (n ∈ )ގ :
• si
;
• si
La tension u(t) aux bornes du condensateur évolue en
permanence. Nous allons étudier les premières phases
de cette évolution pour essayer d’en tirer une loi, puis
nous regarderons le régime oscillatoire permanent.
Nous noterons u n la tension
et v n la tension u(nT).
a) Écrire l’équation d’évolution de la tension u dans
chaque intervalle de temps.
– pour
;
– pour
;
b) Déterminer u(t) pour
En déduire u 0 .
On suppose que le condensateur est déchargé à t = 0
(v 0 = 0).
c) Déterminer u(t) pour
En déduire v 1 .
d) Étudier u(t) pour
en décomposant l’intervalle en deux parties et obtenir u n en
fonction de v n et v n + 1 en fonction de u n . Nous avons
ainsi défini la double loi de récurrence.
e) On admet que la suite
tend vers une limite U
et la suite
vers une limite V. Déterminer U et V.
Tracer alors l’allure du régime oscillatoire permanent
u(t).
Oscillateur de relaxation
Une ampoule au néon est placée en parallèle sur le
condensateur d’un circuit RC. La lampe au néon présente la particularité de ne s’allumer que si la tension
entre ses bornes atteint la valeur V a , dite tension
d’allumage. En revanche, elle reste allumée tant que
la tension à ses bornes est supérieure à V e Ͻ V a ; V e
est appelée tension d’extinction.
La lampe éteinte ne conduit pas le courant ; elle est
équivalente à un interrupteur ouvert.
La lampe allumée est équivalente à une résistance r.
Le condensateur étant initialement déchargé, on
ferme l’interrupteur K.
a) À quelle condition la lampe s’allume-t-elle ?
Décrire
entre l’instant
et l’instant d’allumage t a . Déterminer t a .
b) La lampe étant allumée, comment évolue
?
À quelle condition la lampe s’éteint-elle ?
c) Les deux conditions précédentes étant vérifiées,
décrire l’évolution de
Faire apparaître une
période T décrivant cette évolution.
Lissage du courant
1) Déterminer la loi d’établissement du courant dans
une bobine d’inductance L à travers une résistance R.
Le générateur a une fém constante : e(t) = E.
E
i
v
u
K
R
C
C
R
Ex. 19
t
nT ; n T
T
2
--- -
+
,
∈
e t
( )
E
=
t
nT
T
2
--- - ; n 1
+
(
) T
+
,
∈
e t
( )
0.
=
e(t)
i
R
C
u
e ( V )
E
0
T
2
--- -
3T
2
------- -
T
2 T
t ( s )
u nT
T
2
--- -
+
t
nT ; n T
T
2
--- -
+
∈
t
nT
T
2
--- -
+ ; n 1
+
(
) T
∈
t
0 ;
T
2
--- - .
∈
t
T
2
--- - ; T .
∈
t
nT ; n 1
+
(
) T
[
]
∈
u n
{ }
v n
{ }
Ex. 20
i
K
E
C
N
R
u
u t
( )
t
0
=
u t
( )
u t
( ).
Ex. 21
K
e(t)
L
R
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un générateur de tension E. Déterminer u(t). Quel est
le facteur de qualité Q du montage ? On pose τ = RC.
Niveau 3
Alimentation d’un condensateur
par une tension créneau
Le condensateur de capacité C est alimenté par
l’intermédiaire d’une résistance R grâce à un générateur délivrant une tension créneau e(t) vérifiant la
propriété suivante (n ∈ )ގ :
• si
;
• si
La tension u(t) aux bornes du condensateur évolue en
permanence. Nous allons étudier les premières phases
de cette évolution pour essayer d’en tirer une loi, puis
nous regarderons le régime oscillatoire permanent.
Nous noterons u n la tension
et v n la tension u(nT).
a) Écrire l’équation d’évolution de la tension u dans
chaque intervalle de temps.
– pour
;
– pour
;
b) Déterminer u(t) pour
En déduire u 0 .
On suppose que le condensateur est déchargé à t = 0
(v 0 = 0).
c) Déterminer u(t) pour
En déduire v 1 .
d) Étudier u(t) pour
en décomposant l’intervalle en deux parties et obtenir u n en
fonction de v n et v n + 1 en fonction de u n . Nous avons
ainsi défini la double loi de récurrence.
e) On admet que la suite
tend vers une limite U
et la suite
vers une limite V. Déterminer U et V.
Tracer alors l’allure du régime oscillatoire permanent
u(t).
Oscillateur de relaxation
Une ampoule au néon est placée en parallèle sur le
condensateur d’un circuit RC. La lampe au néon présente la particularité de ne s’allumer que si la tension
entre ses bornes atteint la valeur V a , dite tension
d’allumage. En revanche, elle reste allumée tant que
la tension à ses bornes est supérieure à V e Ͻ V a ; V e
est appelée tension d’extinction.
La lampe éteinte ne conduit pas le courant ; elle est
équivalente à un interrupteur ouvert.
La lampe allumée est équivalente à une résistance r.
Le condensateur étant initialement déchargé, on
ferme l’interrupteur K.
a) À quelle condition la lampe s’allume-t-elle ?
Décrire
entre l’instant
et l’instant d’allumage t a . Déterminer t a .
b) La lampe étant allumée, comment évolue
?
À quelle condition la lampe s’éteint-elle ?
c) Les deux conditions précédentes étant vérifiées,
décrire l’évolution de
Faire apparaître une
période T décrivant cette évolution.
Lissage du courant
1) Déterminer la loi d’établissement du courant dans
une bobine d’inductance L à travers une résistance R.
Le générateur a une fém constante : e(t) = E.
E
i
v
u
K
R
C
C
R
Ex. 19
t
nT ; n T
T
2
--- -
+
,
∈
e t
( )
E
=
t
nT
T
2
--- - ; n 1
+
(
) T
+
,
∈
e t
( )
0.
=
e(t)
i
R
C
u
e ( V )
E
0
T
2
--- -
3T
2
------- -
T
2 T
t ( s )
u nT
T
2
--- -
+
t
nT ; n T
T
2
--- -
+
∈
t
nT
T
2
--- -
+ ; n 1
+
(
) T
∈
t
0 ;
T
2
--- - .
∈
t
T
2
--- - ; T .
∈
t
nT ; n 1
+
(
) T
[
]
∈
u n
{ }
v n
{ }
Ex. 20
i
K
E
C
N
R
u
u t
( )
t
0
=
u t
( )
u t
( ).
Ex. 21
K
e(t)
L
R
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