Méthodes
129
La mise en équation du circuit et la recherche des conditions initiales conduisent, pour l’intensité
dans la branche principale, à :
avec
Déterminer l’expression de
Solution
– La solution particulière constante est :
— L’équation sans second membre s’écrit :
On injecte la solution type
dans cette équation :
˜ Comme
ne s’annule pas (car
est une solution sans intérêt), le polynôme caractéristique est donc :
Son discriminant vaut :
c’est-à-dire zéro compte tenu du choix des composants. Le polynôme caractéristique admet une racine double (régime critique) :
Replacée dans la solution, cette racine double conduit à :
™ La solution générale est donc :
En
on détermine les constantes d’intégration A et B :
Soit en replaçant ces valeurs dans la solution générale :
d’où :
LC
d 2 i
dt 2
-------L
R
--- -
di
dt
----- - i
+
+
E
R
--- -,
=
i 0 +
( )
E
R
--- -
=
di
dt
----- - 0 +
( )
–
E
R 2 C
----------- .
=





i t
( ).
i 2 t
( )
E
R
--- - .
=
LC
d 2 i 1
dt 2
---------- -
L
R
--- -
di 1
dt
------- - i 1
+
+
0.
=
Ae rt
LCr 2 Ae rt L
R
--- -rAe rt Ae rt
+
+
0.
=
Ae rt
A
0
=
LC r 2 L
R
--- -r 1
+
+
0.
=
∆
1
R 2 C 2
-------------4
LC
-------- ,
–
=
α
1
2RC
-----------–
.
=
i 1 t
( )
A Bt
+
(
)
t
2RC
-----------–



 .
exp
=
i t
( )
i 1 t
( ) i 2 t
( )
+
E
R
--- - A Bt
+
(
)
t
2RC
-----------–



 .
exp
+
=
=
t
0 + ,
=
i 0 +
( )
E
R
--- -
E
R
--- - A
+
=
=
di
dt
----- - 0 +
( )
E
R 2 C
----------–
B
A
2RC
------------ -
–
=
=





A
0
=
B
E
R 2 C
----------- .
–
=





⇒
i t
( )
E
R
--- -
Et
R 2 C
----------t
2RC
-----------–



 ,
exp
–
=
i t
( )
E
R
---- 1 –
t
RC
-------- -
–
t
2RC
-----------



exp



 .
=
KA_MPSI.book Page 129 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23