128
Chapitre 4 : Régimes transitoires
Mise en œuvre
Comment résoudre une équation différentielle linéaire
à second membre constant ?
L’étude d’un régime transitoire fait systématiquement appel à la résolution d’une équation différentielle. On se propose de résoudre cette équation.
➜ Savoir faire
➜ Application
On considère le circuit ci-dessous, dont l’interrupteur K est fermé à l’instant
Méthode n° 1
Chercher la solution particulière constante qui vérifie l’équation différentielle avec second
membre.
Injecter une solution exponentielle du type
dans l’équation différentielle dont le
second membre a été annulé (équation homogène). Le coefficient r vérifie une équation
appelée polynôme caractéristique.
Déterminer la ou les valeurs de r qui sont racines du polynôme caractéristique. Construire
la solution sans second membre, de la forme :
•
pour une équation du premier ordre ;
•
pour une équation du second ordre admettant deux racines réelles ou complexes conjuguées ;
•
pour une équation du second ordre admettant une racine double.
Dans le cas de deux racines complexes conjuguées
on peut écrire la solution sous la forme :
Déterminer la ou les constantes d’intégration de la solution générale, qui est la somme de
la solution particulière établie au et de la solution sans second membre établie au . Cette
étape nécessite de connaître les conditions initiales données par les relations de continuité
(voir la méthode n° 1 du chapitre 3).
Il faut veiller à déterminer les constantes d’intégration sur la solution générale, c’est-à-dire après avoir
réuni les solutions particulières et sans second membre.
Ae rt
Ae rt
Ae
r 1 t
Be
r 2 t
+
A Bt
+
(
)e rt
α jβ,
±
A
βt
( )
cos
B
βt
( )
sin
+
[
] e αt .
t
0.
=
E
L
C
i t
( )
R
2
L
C
---=
K
KA_MPSI.book Page 128 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23
Chapitre 4 : Régimes transitoires
Mise en œuvre
Comment résoudre une équation différentielle linéaire
à second membre constant ?
L’étude d’un régime transitoire fait systématiquement appel à la résolution d’une équation différentielle. On se propose de résoudre cette équation.
➜ Savoir faire
➜ Application
On considère le circuit ci-dessous, dont l’interrupteur K est fermé à l’instant
Méthode n° 1
Chercher la solution particulière constante qui vérifie l’équation différentielle avec second
membre.
Injecter une solution exponentielle du type
dans l’équation différentielle dont le
second membre a été annulé (équation homogène). Le coefficient r vérifie une équation
appelée polynôme caractéristique.
Déterminer la ou les valeurs de r qui sont racines du polynôme caractéristique. Construire
la solution sans second membre, de la forme :
•
pour une équation du premier ordre ;
•
pour une équation du second ordre admettant deux racines réelles ou complexes conjuguées ;
•
pour une équation du second ordre admettant une racine double.
Dans le cas de deux racines complexes conjuguées
on peut écrire la solution sous la forme :
Déterminer la ou les constantes d’intégration de la solution générale, qui est la somme de
la solution particulière établie au et de la solution sans second membre établie au . Cette
étape nécessite de connaître les conditions initiales données par les relations de continuité
(voir la méthode n° 1 du chapitre 3).
Il faut veiller à déterminer les constantes d’intégration sur la solution générale, c’est-à-dire après avoir
réuni les solutions particulières et sans second membre.
Ae rt
Ae rt
Ae
r 1 t
Be
r 2 t
+
A Bt
+
(
)e rt
α jβ,
±
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( )
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0.
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