Méthodes
127
Étude d’un circuit RLC série
• Pour l’étude du régime transitoire du circuit RLC, on introduit les variables réduites :
La pulsation propre ω 0 est la pulsation des oscillations en l’absence d’amortissement.
• La tension u C aux bornes du condensateur d’un circuit RLC série soumis à l’échelon de tension
E vérifie l’équation différentielle du second ordre :
ou
• En fonction de la valeur de α (ou, ce qui est équivalent, de la valeur de Q), on distingue trois
régimes différents.
• Au cours de la charge, la moitié de l’énergie électrique fournie par le générateur est dissipée par
effet Joule dans la résistance et l’autre moitié est emmagasinée sous forme d’énergie électrostatique E élec dans la capacité. L’énergie magnétique E mag emmagasinée dans l’inductance, nulle
au début de la charge, est à nouveau nulle à la fin de la charge.
Pulsation propre
(s –1 ou rad · s –1 )
Facteur
d’amortissement (s –1 )
Coefficient
d’amortissement
(sans dimension)
Facteur de qualité
(sans dimension)
Régime apériodique :
ou
(fort amortissement)
Solution de l’équation homogène
:
avec r 1 et r 2 racines réelles du polynôme caractéristique.
Régime critique :
ou
(amortissement critique)
Solution de l’équation homogène
:
avec r racine double du polynôme
caractéristique.
Régime pseudo-périodique :
ou
(amortissement faible)
Solution de l’équation homogène
:
avec
et
racines complexes conjuguées du
polynôme caractéristique.
ω 0
1
LC
------------ -
=
λ
R
2L
------=
α
λ
ω 0
-----=
Q
1
2α
------ -
Lω 0
R
---------- -
1
RCω 0
--------------- -
=
=
=
LC
d 2 u C
dt 2
------------- - RC
du C
dt
----------- u C
+
+
E
=
d 2 u C
dt 2
------------- -
w 0
Q
----- -
du C
dt
----------- w 0
2 u C
+
+
w 0
2 E.
=
a 1
Ͼ
Q
1
2
-- -
Ͻ
∆ 0
Ͼ
(
)
u 1
A 1 e
r 1 t
A 2 e
r 2 t ,
+
=
u C ( V )
0
t ( s )
a
1
=
Q
1
2
-- -
=
∆ 0
=
(
)
u 1
At B
+
(
)e rt ,
=
u C ( V )
0
t ( s )
E
a 1
Ͻ
Q
1
2
-- -
Ͼ
∆ 0
Ͻ
(
)
u 1 A
ωt
( )
cos
B
ωt
( )
sin
+
[
]e –λt ,
–
=
r 1
λ
–
jω
+
=
r 2
λ
–
jω
–
=
u C ( V )
0
t ( s )
E
w
w 0 1 a 2
–
=
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Étude d’un circuit RLC série
• Pour l’étude du régime transitoire du circuit RLC, on introduit les variables réduites :
La pulsation propre ω 0 est la pulsation des oscillations en l’absence d’amortissement.
• La tension u C aux bornes du condensateur d’un circuit RLC série soumis à l’échelon de tension
E vérifie l’équation différentielle du second ordre :
ou
• En fonction de la valeur de α (ou, ce qui est équivalent, de la valeur de Q), on distingue trois
régimes différents.
• Au cours de la charge, la moitié de l’énergie électrique fournie par le générateur est dissipée par
effet Joule dans la résistance et l’autre moitié est emmagasinée sous forme d’énergie électrostatique E élec dans la capacité. L’énergie magnétique E mag emmagasinée dans l’inductance, nulle
au début de la charge, est à nouveau nulle à la fin de la charge.
Pulsation propre
(s –1 ou rad · s –1 )
Facteur
d’amortissement (s –1 )
Coefficient
d’amortissement
(sans dimension)
Facteur de qualité
(sans dimension)
Régime apériodique :
ou
(fort amortissement)
Solution de l’équation homogène
:
avec r 1 et r 2 racines réelles du polynôme caractéristique.
Régime critique :
ou
(amortissement critique)
Solution de l’équation homogène
:
avec r racine double du polynôme
caractéristique.
Régime pseudo-périodique :
ou
(amortissement faible)
Solution de l’équation homogène
:
avec
et
racines complexes conjuguées du
polynôme caractéristique.
ω 0
1
LC
------------ -
=
λ
R
2L
------=
α
λ
ω 0
-----=
Q
1
2α
------ -
Lω 0
R
---------- -
1
RCω 0
--------------- -
=
=
=
LC
d 2 u C
dt 2
------------- - RC
du C
dt
----------- u C
+
+
E
=
d 2 u C
dt 2
------------- -
w 0
Q
----- -
du C
dt
----------- w 0
2 u C
+
+
w 0
2 E.
=
a 1
Ͼ
Q
1
2
-- -
Ͻ
∆ 0
Ͼ
(
)
u 1
A 1 e
r 1 t
A 2 e
r 2 t ,
+
=
u C ( V )
0
t ( s )
a
1
=
Q
1
2
-- -
=
∆ 0
=
(
)
u 1
At B
+
(
)e rt ,
=
u C ( V )
0
t ( s )
E
a 1
Ͻ
Q
1
2
-- -
Ͼ
∆ 0
Ͻ
(
)
u 1 A
ωt
( )
cos
B
ωt
( )
sin
+
[
]e –λt ,
–
=
r 1
λ
–
jω
+
=
r 2
λ
–
jω
–
=
u C ( V )
0
t ( s )
E
w
w 0 1 a 2
–
=
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