124
Chapitre 4 : Régimes transitoires
C.6. Analogie avec l’oscillateur linéaire
Dans un circuit RLC série, l’équation différentielle vérifiée par la charge q du
condensateur s’écrit :
avec
et
En mécanique, l’équation différentielle de l’oscillateur linéaire est :
avec
et
Cette équation est formellement identique à celle de l’équation homogène de
l’oscillateur électrique étudié précédemment. Bien que les oscillateurs électrique
et mécanique correspondent à des situations physiques a priori très différentes,
leurs comportements, décrits par un même « squelette algébrique », sont les
mêmes. Le tableau ci-dessous définit les grandeurs analogues.
On peut alors poser :
et
En fonction de la valeur de α, on retrouve trois régimes d’oscillations : le
régime apériodique (α Ͼ 1), le régime critique (α = 1) et le régime pseudopériodique (α Ͻ 1).
Au cours de la charge, la moitié de l’énergie électrique fournie par le
générateur
1 est dissipée par effet Joule dans le conducteur ohmique et
l’autre moitié est emmagasinée sous forme électrostatique dans le condensateur. L’énergie magnétique, nulle au début de la charge, est à nouveau
nulle à la fin de la charge
2 .
Grandeurs électriques
Grandeurs mécaniques
charge du condensateur
q
déplacement de la masse
x
intensité du courant
i
vitesse de la masse
v
inductance propre
L
masse
m
résistance du circuit
R
coefficient de frottement
f
capacité du
condensateur
C
inverse de la raideur
du ressort
énergie magnétique
énergie cinétique
énergie
électrostatique
énergie potentielle
élastique
pertes par effet Joule
P J = Ri
2
pertes par frottement
P f = fv
2
1. Lorsque le condensateur est
chargé, le générateur ne fournit
plus d’énergie au circuit (le
condensateur se comporte
comme un interrupteur ouvert).
2. Au cours de la charge, lorsque
le courant traverse le circuit,
l’énergie de la bobine n’est pas
nulle.
Lq ˙˙ Rq ˙
q
C
---+
+
E,
=
q ˙
dq
dt
-----i
=
=
q ˙˙
d 2 q
dt 2
--------di
dt
----- - .
=
=
mx ˙˙ f x ˙
+
kx
0,
=
=
x ˙
dx
dt
------ -
v
=
=
x ˙˙
d 2 x
dt 2
--------dv
dt
------ - .
=
=
1
k
-- -
E mag
1
2
-- -L i 2
=
E c
1
2
-- -mv 2
=
E élec
1
2
-- -
q 2
C
---- -
=
E p
1
2
-- -kx 2
=
ω 0
k
m
---=
λ
αω 0
f
2m
------- - .
=
=
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Chapitre 4 : Régimes transitoires
C.6. Analogie avec l’oscillateur linéaire
Dans un circuit RLC série, l’équation différentielle vérifiée par la charge q du
condensateur s’écrit :
avec
et
En mécanique, l’équation différentielle de l’oscillateur linéaire est :
avec
et
Cette équation est formellement identique à celle de l’équation homogène de
l’oscillateur électrique étudié précédemment. Bien que les oscillateurs électrique
et mécanique correspondent à des situations physiques a priori très différentes,
leurs comportements, décrits par un même « squelette algébrique », sont les
mêmes. Le tableau ci-dessous définit les grandeurs analogues.
On peut alors poser :
et
En fonction de la valeur de α, on retrouve trois régimes d’oscillations : le
régime apériodique (α Ͼ 1), le régime critique (α = 1) et le régime pseudopériodique (α Ͻ 1).
Au cours de la charge, la moitié de l’énergie électrique fournie par le
générateur
1 est dissipée par effet Joule dans le conducteur ohmique et
l’autre moitié est emmagasinée sous forme électrostatique dans le condensateur. L’énergie magnétique, nulle au début de la charge, est à nouveau
nulle à la fin de la charge
2 .
Grandeurs électriques
Grandeurs mécaniques
charge du condensateur
q
déplacement de la masse
x
intensité du courant
i
vitesse de la masse
v
inductance propre
L
masse
m
résistance du circuit
R
coefficient de frottement
f
capacité du
condensateur
C
inverse de la raideur
du ressort
énergie magnétique
énergie cinétique
énergie
électrostatique
énergie potentielle
élastique
pertes par effet Joule
P J = Ri
2
pertes par frottement
P f = fv
2
1. Lorsque le condensateur est
chargé, le générateur ne fournit
plus d’énergie au circuit (le
condensateur se comporte
comme un interrupteur ouvert).
2. Au cours de la charge, lorsque
le courant traverse le circuit,
l’énergie de la bobine n’est pas
nulle.
Lq ˙˙ Rq ˙
q
C
---+
+
E,
=
q ˙
dq
dt
-----i
=
=
q ˙˙
d 2 q
dt 2
--------di
dt
----- - .
=
=
mx ˙˙ f x ˙
+
kx
0,
=
=
x ˙
dx
dt
------ -
v
=
=
x ˙˙
d 2 x
dt 2
--------dv
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------ - .
=
=
1
k
-- -
E mag
1
2
-- -L i 2
=
E c
1
2
-- -mv 2
=
E élec
1
2
-- -
q 2
C
---- -
=
E p
1
2
-- -kx 2
=
ω 0
k
m
---=
λ
αω 0
f
2m
------- - .
=
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