122
Chapitre 4 : Régimes transitoires
C.4. Interprétation physique
Quel que soit le régime, la charge du condensateur correspond à un régime
transitoire. Lorsque le condensateur est chargé ( t → ∞ ), le régime permanent
est atteint : on a alors u C = E et i = 0 (fig. 18).
C.5. Étude énergétique
• Lors de la charge du condensateur, l’addition des tensions s’écrit :
Équation différentielle vérifiée par l’intensité i
Déterminer l’équation différentielle vérifiée par l’intensité i du courant et préciser les conditions initiales permettant de résoudre cette équation.
Solution
• La loi d’addition des tensions s’écrit pour
:
E = u R + u L + u C , soit :
avec
Par dérivation, on obtient donc l’équation différentielle caractérisant l’évolution de l’intensité i au
cours du temps :
ou
Le polynôme caractéristique est le même que pour l’équation différentielle vérifiée par la tension u C .
Quand u C évolue suivant un régime pseudo-périodique (ou apériodique ou critique), alors i évolue
aussi suivant un régime pseudo-périodique (ou apériodique ou critique).
• L’intensité i du courant dans l’inductance est continue, d’où la première condition initiale :
i ( t = 0 ) = 0 .
Il faut aussi déterminer une condition sur la dérivée de i . À l’instant t = 0, la tension aux bornes du
conducteur ohmique est nulle : u R ( t = 0) = Ri(t = 0) = 0. En outre, la tension u C aux bornes du condensateur est continue, d’où : u C (t = 0) = 0. D’après la loi d’addition des tensions, on obtient donc
la seconde condition initiale :
u L (t = 0) = E avec
soit :
Application 6
t 0
Ͼ
Ri L
di
dt
----- - u C
+
+
E
=
i
C
du C
dt
---------- .
=
L
d 2 i
dt 2
-------- R
di
dt
----- -
i
C
---+
+
0
=
LC
d 2 i
dt 2
-------- - RC
di
dt
------ i
+
+
0.
=
u L t 0
=
(
)
L
di
dt
----- - t 0
=
(
),
=
di
dt
------ t 0
=
(
)
E
R
---- .
=
E
u R (0) = 0
C
L
R
i ( 0 ) = 0
u L ( 0 ) = E
u C ( 0 ) = 0
E
u R ( ∞ ) = 0
C
L
R
i ( ∞) = 0
u L ( ∞ ) = 0
u C ( ∞) = E
Fig. 18 - État du circuit quand t = 0 et quand t → ∞.
E
u R u L u C
+
+
Ri L
di
dt
----- - u C .
+
+
=
=
KA_MPSI.book Page 122 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23
Chapitre 4 : Régimes transitoires
C.4. Interprétation physique
Quel que soit le régime, la charge du condensateur correspond à un régime
transitoire. Lorsque le condensateur est chargé ( t → ∞ ), le régime permanent
est atteint : on a alors u C = E et i = 0 (fig. 18).
C.5. Étude énergétique
• Lors de la charge du condensateur, l’addition des tensions s’écrit :
Équation différentielle vérifiée par l’intensité i
Déterminer l’équation différentielle vérifiée par l’intensité i du courant et préciser les conditions initiales permettant de résoudre cette équation.
Solution
• La loi d’addition des tensions s’écrit pour
:
E = u R + u L + u C , soit :
avec
Par dérivation, on obtient donc l’équation différentielle caractérisant l’évolution de l’intensité i au
cours du temps :
ou
Le polynôme caractéristique est le même que pour l’équation différentielle vérifiée par la tension u C .
Quand u C évolue suivant un régime pseudo-périodique (ou apériodique ou critique), alors i évolue
aussi suivant un régime pseudo-périodique (ou apériodique ou critique).
• L’intensité i du courant dans l’inductance est continue, d’où la première condition initiale :
i ( t = 0 ) = 0 .
Il faut aussi déterminer une condition sur la dérivée de i . À l’instant t = 0, la tension aux bornes du
conducteur ohmique est nulle : u R ( t = 0) = Ri(t = 0) = 0. En outre, la tension u C aux bornes du condensateur est continue, d’où : u C (t = 0) = 0. D’après la loi d’addition des tensions, on obtient donc
la seconde condition initiale :
u L (t = 0) = E avec
soit :
Application 6
t 0
Ͼ
Ri L
di
dt
----- - u C
+
+
E
=
i
C
du C
dt
---------- .
=
L
d 2 i
dt 2
-------- R
di
dt
----- -
i
C
---+
+
0
=
LC
d 2 i
dt 2
-------- - RC
di
dt
------ i
+
+
0.
=
u L t 0
=
(
)
L
di
dt
----- - t 0
=
(
),
=
di
dt
------ t 0
=
(
)
E
R
---- .
=
E
u R (0) = 0
C
L
R
i ( 0 ) = 0
u L ( 0 ) = E
u C ( 0 ) = 0
E
u R ( ∞ ) = 0
C
L
R
i ( ∞) = 0
u L ( ∞ ) = 0
u C ( ∞) = E
Fig. 18 - État du circuit quand t = 0 et quand t → ∞.
E
u R u L u C
+
+
Ri L
di
dt
----- - u C .
+
+
=
=
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