120
Chapitre 4 : Régimes transitoires
La résolution de ce système de deux équations à deux inconnues fournit :
B = –E et A = −λ E.
La tension u C aux bornes du condensateur vaut donc (fig. 14) :
u C ( t ) = E [ 1 – ( l t +1)e
-l t ] .
• Le régime pseudo-périodique : D¢ Ͻ 0.
Cette condition est réalisée pour :
Le polynôme caractéristique admet alors deux racines complexes conjuguées
à partie réelle négative. En posant ω 2 = – ∆′ , il vient :
r 1 = – λ – j ω et r 2 = – λ + j ω .
On en déduit la solution générale de l’équation homogène :
u 1 = [ Acos(ω t) + Bsin(ω t)]e –λ t .
La solution générale de l’équation différentielle avec second membre est donc :
u C = u 1 + u 2 , soit : u C = [Acos(ωt) + Bsin(ωt)]e
–λt + E.
D’après les conditions initiales, on a :
(u C (t = 0) = 0 ⇒ A + E = 0) et
La résolution de ce système de deux équations à deux inconnues fournit :
et
La tension u C aux bornes du condensateur vaut donc (fig. 15) :
Remarque
Si α = 0, on retrouve bien les oscillations non amorties du circuit RLC série.
C.2.6 - Le réseau de graphes
La figure 16 montre l’évolution du régime d’oscillations en fonction de la
valeur du coefficient d’amortissement α. Pour simplifier, les graphes sont tracés en coordonnées x et y définies par :
et
Si le coefficient d’amortissement α du circuit RLC série est égal à 1 (α = 1),
le régime est dit apériodique critique ou critique.
Si le coefficient d’amortissement α du circuit RLC série est strictement
inférieur à 1 (α Ͻ 1), l’oscillateur est faiblement amorti : le régime est dit
oscillatoire amorti ou pseudo-périodique. La pseudo-pulsation ω des
oscillations vaut 1 :
où ω 0 est la pulsation propre (ω Ͻ ω 0 ).
Fig. 14 - Allure de la tension en
régime critique.
u C ( V )
0
t ( s )
E
λ ω 0
α 1
R 2
L
C
---- .
Ͻ
⇔
Ͻ
⇔
Ͻ
du C
dt
---------- t 0
=
(
) 0
λA ωB
+
–
⇒
0
=
=
.
A
E
–
=
B
λ
ω
--- -E.
=
Fig. 15 - Allure de la tension en
régime pseudo-périodique.
u C ( V )
0
t ( s )
E
u C t
( )
E 1 e l t
wt
( )
l
w
--- -
wt
( )
sin
+
cos
–
.
=
1. On associe à la pseudopulsation ω la pseudo-période T
telle que :
On a donc toujours : T Ͼ T 0 .
T
2π
ω
----- -
2π
ω 0 1 α 2
–
------------------------T 0
1 α 2
–
-----------------=
=
=
w
w 0 1 a 2
– ,
=
x
w 0 t
=
y
u C
E
------ - .
=
KA_MPSI.book Page 120 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23
Chapitre 4 : Régimes transitoires
La résolution de ce système de deux équations à deux inconnues fournit :
B = –E et A = −λ E.
La tension u C aux bornes du condensateur vaut donc (fig. 14) :
u C ( t ) = E [ 1 – ( l t +1)e
-l t ] .
• Le régime pseudo-périodique : D¢ Ͻ 0.
Cette condition est réalisée pour :
Le polynôme caractéristique admet alors deux racines complexes conjuguées
à partie réelle négative. En posant ω 2 = – ∆′ , il vient :
r 1 = – λ – j ω et r 2 = – λ + j ω .
On en déduit la solution générale de l’équation homogène :
u 1 = [ Acos(ω t) + Bsin(ω t)]e –λ t .
La solution générale de l’équation différentielle avec second membre est donc :
u C = u 1 + u 2 , soit : u C = [Acos(ωt) + Bsin(ωt)]e
–λt + E.
D’après les conditions initiales, on a :
(u C (t = 0) = 0 ⇒ A + E = 0) et
La résolution de ce système de deux équations à deux inconnues fournit :
et
La tension u C aux bornes du condensateur vaut donc (fig. 15) :
Remarque
Si α = 0, on retrouve bien les oscillations non amorties du circuit RLC série.
C.2.6 - Le réseau de graphes
La figure 16 montre l’évolution du régime d’oscillations en fonction de la
valeur du coefficient d’amortissement α. Pour simplifier, les graphes sont tracés en coordonnées x et y définies par :
et
Si le coefficient d’amortissement α du circuit RLC série est égal à 1 (α = 1),
le régime est dit apériodique critique ou critique.
Si le coefficient d’amortissement α du circuit RLC série est strictement
inférieur à 1 (α Ͻ 1), l’oscillateur est faiblement amorti : le régime est dit
oscillatoire amorti ou pseudo-périodique. La pseudo-pulsation ω des
oscillations vaut 1 :
où ω 0 est la pulsation propre (ω Ͻ ω 0 ).
Fig. 14 - Allure de la tension en
régime critique.
u C ( V )
0
t ( s )
E
λ ω 0
α 1
R 2
L
C
---- .
Ͻ
⇔
Ͻ
⇔
Ͻ
du C
dt
---------- t 0
=
(
) 0
λA ωB
+
–
⇒
0
=
=
.
A
E
–
=
B
λ
ω
--- -E.
=
Fig. 15 - Allure de la tension en
régime pseudo-périodique.
u C ( V )
0
t ( s )
E
u C t
( )
E 1 e l t
wt
( )
l
w
--- -
wt
( )
sin
+
cos
–
.
=
1. On associe à la pseudopulsation ω la pseudo-période T
telle que :
On a donc toujours : T Ͼ T 0 .
T
2π
ω
----- -
2π
ω 0 1 α 2
–
------------------------T 0
1 α 2
–
-----------------=
=
=
w
w 0 1 a 2
– ,
=
x
w 0 t
=
y
u C
E
------ - .
=
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