119
Cours
C.2.5 - Les différents régimes solutions
On détermine les racines du polynôme caractéristique r
2 + 2 λ r + = 0 en
utilisant le discriminant réduit ∆′ :
∆′ = λ 2 –
=
( α 2 – 1).
Selon le signe de ∆′ , trois cas sont possibles.
• Le régime apériodique : D¢ Ͼ 0.
Cette condition est réalisée pour :
Le polynôme caractéristique admet alors deux racines négatives 1 :
et
On en déduit la solution générale de l’équation homogène :
La solution générale de l’équation différentielle avec second membre est
donc :
u C = u 1 + u 2 , soit :
D’après les conditions initiales, on a :
et
La résolution de ce système de deux équations à deux inconnues fournit :
et
La tension u C aux bornes du condensateur vaut donc (fig. 13) :
• Le régime critique : D¢ = 0.
Cette condition est réalisée pour :
(résistance critique) .
Le polynôme caractéristique admet alors une racine double négative :
r = −λ = −ω 0 .
On en déduit la solution générale de l’équation homogène :
u 1 = (At + B)e –λ t .
La solution générale de l’équation différentielle avec second membre est donc :
u C = u 1 + u 2 , soit : u C = (At + B)e
–λ t + E.
D’après les conditions initiales, on a :
(u C (t = 0) = 0 ⇒ B + E = 0) et
Si le coefficient d’amortissement α du circuit RLC série est strictement
supérieur à 1 (α Ͼ 1), l’oscillateur est fortement amorti : le régime est dit
apériodique.
ω 0
2
ω 0
2
ω 0
2
λ ω 0
α 1
R 2
L
C
---- .
Ͼ
⇔
Ͼ
⇔
Ͼ
1. Les racines peuvent aussi
s’écrire :
r – ω 0 α
α 2 1
–
±
(
) .
=
r 1
λ
–
∆′
–
λ
–
λ 2 ω 0
2
–
–
=
=
r 2
λ
–
∆′
+
λ
–
λ 2 ω 0
2
– .
+
=
=
u 1
A 1 e
r 1 t
A 2 e
r 2 t .
+
=
u C
A 1 e
r 1 t
A 2 e
r 2 t
E.
+
+
=
Fig. 13 - Allure de la tension en
régime apériodique.
u C ( V )
0
t ( s )
u C t = 0
(
) 0 A 1 A 2 E
+
+
⇒
0
=
=
(
)
du C
dt
---------- - t = 0
(
) 0 r 1 A 1 r 2 A 2
+
⇒
0
=
=
.
A 1
r 2
r 1 r 2
–
-------------- -E
=
A 2
–
r 1
r 1 r 2
–
-------------- -E.
=
u C t
( )
E
r 2
r 1 r 2
–
----------------e
r 1 t
r 1
r 1 r 2
–
----------------e
r 2 t
–
1
+
.
=
λ
ω 0
α
⇔
1
R
⇔ = 2
L
C
---- = R c
=
=
du C
dt
---------- t 0
=
(
) 0 A λB
–
⇒
0
=
=
.
KA_MPSI.book Page 119 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23
Cours
C.2.5 - Les différents régimes solutions
On détermine les racines du polynôme caractéristique r
2 + 2 λ r + = 0 en
utilisant le discriminant réduit ∆′ :
∆′ = λ 2 –
=
( α 2 – 1).
Selon le signe de ∆′ , trois cas sont possibles.
• Le régime apériodique : D¢ Ͼ 0.
Cette condition est réalisée pour :
Le polynôme caractéristique admet alors deux racines négatives 1 :
et
On en déduit la solution générale de l’équation homogène :
La solution générale de l’équation différentielle avec second membre est
donc :
u C = u 1 + u 2 , soit :
D’après les conditions initiales, on a :
et
La résolution de ce système de deux équations à deux inconnues fournit :
et
La tension u C aux bornes du condensateur vaut donc (fig. 13) :
• Le régime critique : D¢ = 0.
Cette condition est réalisée pour :
(résistance critique) .
Le polynôme caractéristique admet alors une racine double négative :
r = −λ = −ω 0 .
On en déduit la solution générale de l’équation homogène :
u 1 = (At + B)e –λ t .
La solution générale de l’équation différentielle avec second membre est donc :
u C = u 1 + u 2 , soit : u C = (At + B)e
–λ t + E.
D’après les conditions initiales, on a :
(u C (t = 0) = 0 ⇒ B + E = 0) et
Si le coefficient d’amortissement α du circuit RLC série est strictement
supérieur à 1 (α Ͼ 1), l’oscillateur est fortement amorti : le régime est dit
apériodique.
ω 0
2
ω 0
2
ω 0
2
λ ω 0
α 1
R 2
L
C
---- .
Ͼ
⇔
Ͼ
⇔
Ͼ
1. Les racines peuvent aussi
s’écrire :
r – ω 0 α
α 2 1
–
±
(
) .
=
r 1
λ
–
∆′
–
λ
–
λ 2 ω 0
2
–
–
=
=
r 2
λ
–
∆′
+
λ
–
λ 2 ω 0
2
– .
+
=
=
u 1
A 1 e
r 1 t
A 2 e
r 2 t .
+
=
u C
A 1 e
r 1 t
A 2 e
r 2 t
E.
+
+
=
Fig. 13 - Allure de la tension en
régime apériodique.
u C ( V )
0
t ( s )
u C t = 0
(
) 0 A 1 A 2 E
+
+
⇒
0
=
=
(
)
du C
dt
---------- - t = 0
(
) 0 r 1 A 1 r 2 A 2
+
⇒
0
=
=
.
A 1
r 2
r 1 r 2
–
-------------- -E
=
A 2
–
r 1
r 1 r 2
–
-------------- -E.
=
u C t
( )
E
r 2
r 1 r 2
–
----------------e
r 1 t
r 1
r 1 r 2
–
----------------e
r 2 t
–
1
+
.
=
λ
ω 0
α
⇔
1
R
⇔ = 2
L
C
---- = R c
=
=
du C
dt
---------- t 0
=
(
) 0 A λB
–
⇒
0
=
=
.
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