118
Chapitre 4 : Régimes transitoires
• Facteur d’amortissement
Plus le facteur d’amortissement λ est grand, plus le circuit est amorti. Un circuit non amorti correspond à λ = 0, donc à R = 0 (circuit LC série).
– Afin d’avoir des grandeurs sans dimension, on introduit le coefficient
d’amortissement α tel que
2 :
l = aw 0 , soit :
ou
– Pour étudier les circuits, on introduit souvent le facteur de qualité Q, sans
dimension, lié au coefficient d’amortissement α par la relation :
soit :
• Écriture du polynôme caractéristique en variables réduites
En utilisant les variables réduites ω 0 et λ (ou α), le polynôme caractéristique
en r associé à l’équation homogène s’écrit :
r 2 + 2lr + = 0 ou r 2 + 2aw 0 r + = 0.
Les deux expressions précédentes sont homogènes. Comme λ et ω 0 s’expriment en s
–1 , les racines r 1 et r 2 du polynôme caractéristique s’expriment aussi
en s
–1 .
C.2.4 - Conditions de continuité
La tension u C aux bornes du condensateur et l’intensité i du courant dans
l’inductance sont continues. À l’instant t = 0, les conditions initiales sur la
tension et l’intensité s’écrivent donc 3 : u C (t = 0) = 0 et i(t = 0) = 0.
Comme
la condition i(t = 0) = 0 équivaut à :
Les deux conditions initiales permettant de résoudre le problème sont :
u C (t = 0) = 0 et
Détermination de l’unité de w 0
En utilisant les constantes de temps des circuits RC et RL, montrer que la pulsation propre ω 0
s’exprime en s –1 .
Solution
Les constantes de temps des circuits RC et RL s’écrivent :
τ RC = RC et
d’où :
Le produit LC s’exprime en s
2 , donc la pulsation propre ω 0 s’exprime en s
–1 .
Définition 4
On définit le facteur d’amortissement λ du circuit par la relation
1 :
Application 5
τ RL
L
R
--- -,
=
τ RC τ RL
×
LC
1
ω 0
2
------ .
=
=
1. Le facteur d’amortissement λ
est directement lié à la constante
de temps τ RL du circuit RL.
λ facteur d'amortissement en s
–1
R résistance en ohm (Ω)
L inductance en henry (H)
l
R
2L
------=
2. Le facteur d’amortissement est
parfois noté m ou ξ.
α
λ
ω 0
-----R
2Lω 0
-------------1
2
-- -RCω 0
=
=
=
α
R
2
--- -
C
L
---- .
=
a
1
2Q
-------- ,
=
Q
1
2α
------ -
Lω 0
R
---------- -
1
RCω 0
--------------- - .
=
=
=
w 0
2
w 0
2
3. L’équation différentielle étant
du second ordre, il faut connaître
deux conditions initiales pour
déterminer les deux constantes
d’intégration :
– continuité de u C à t = 0 ;
– continuité de i à t = 0.
i
C
du C
dt
----------,
=
du C
dt
---------- t 0
=
(
)
0.
=
du C
dt
----------- t = 0
(
)
0 .
=
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Chapitre 4 : Régimes transitoires
• Facteur d’amortissement
Plus le facteur d’amortissement λ est grand, plus le circuit est amorti. Un circuit non amorti correspond à λ = 0, donc à R = 0 (circuit LC série).
– Afin d’avoir des grandeurs sans dimension, on introduit le coefficient
d’amortissement α tel que
2 :
l = aw 0 , soit :
ou
– Pour étudier les circuits, on introduit souvent le facteur de qualité Q, sans
dimension, lié au coefficient d’amortissement α par la relation :
soit :
• Écriture du polynôme caractéristique en variables réduites
En utilisant les variables réduites ω 0 et λ (ou α), le polynôme caractéristique
en r associé à l’équation homogène s’écrit :
r 2 + 2lr + = 0 ou r 2 + 2aw 0 r + = 0.
Les deux expressions précédentes sont homogènes. Comme λ et ω 0 s’expriment en s
–1 , les racines r 1 et r 2 du polynôme caractéristique s’expriment aussi
en s
–1 .
C.2.4 - Conditions de continuité
La tension u C aux bornes du condensateur et l’intensité i du courant dans
l’inductance sont continues. À l’instant t = 0, les conditions initiales sur la
tension et l’intensité s’écrivent donc 3 : u C (t = 0) = 0 et i(t = 0) = 0.
Comme
la condition i(t = 0) = 0 équivaut à :
Les deux conditions initiales permettant de résoudre le problème sont :
u C (t = 0) = 0 et
Détermination de l’unité de w 0
En utilisant les constantes de temps des circuits RC et RL, montrer que la pulsation propre ω 0
s’exprime en s –1 .
Solution
Les constantes de temps des circuits RC et RL s’écrivent :
τ RC = RC et
d’où :
Le produit LC s’exprime en s
2 , donc la pulsation propre ω 0 s’exprime en s
–1 .
Définition 4
On définit le facteur d’amortissement λ du circuit par la relation
1 :
Application 5
τ RL
L
R
--- -,
=
τ RC τ RL
×
LC
1
ω 0
2
------ .
=
=
1. Le facteur d’amortissement λ
est directement lié à la constante
de temps τ RL du circuit RL.
λ facteur d'amortissement en s
–1
R résistance en ohm (Ω)
L inductance en henry (H)
l
R
2L
------=
2. Le facteur d’amortissement est
parfois noté m ou ξ.
α
λ
ω 0
-----R
2Lω 0
-------------1
2
-- -RCω 0
=
=
=
α
R
2
--- -
C
L
---- .
=
a
1
2Q
-------- ,
=
Q
1
2α
------ -
Lω 0
R
---------- -
1
RCω 0
--------------- - .
=
=
=
w 0
2
w 0
2
3. L’équation différentielle étant
du second ordre, il faut connaître
deux conditions initiales pour
déterminer les deux constantes
d’intégration :
– continuité de u C à t = 0 ;
– continuité de i à t = 0.
i
C
du C
dt
----------,
=
du C
dt
---------- t 0
=
(
)
0.
=
du C
dt
----------- t = 0
(
)
0 .
=
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