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Cours
C.2.2 - Résolution de l’équation différentielle
Pour
il faut résoudre une équation différentielle du second ordre à
coefficients constants avec second membre.
(1) Méthode de résolution mathématique
La solution générale de cette équation est la somme :
– de la solution générale u 1 de l’équation homogène associée :
LC
+ RC
+ u 1 = 0 ;
– d’une solution particulière u 2 de l’équation.
(2) Solution particulière constante
Comme le second membre de l’équation est constant, on cherche comme
solution particulière une fonction constante :
LC
+ RC
+ u 2 = E avec
=
= 0, d’où : u 2 = E.
(3) Solution de l’équation homogène
On cherche une solution de l’équation homogène sous la forme :
u 1 = Ae r t , où A est une constante.
L’équation homogène s’écrit alors :
= Are
rt
= ru 1 et
= r
2 u 1 , soit : LC r
2 u 1 + RC ru 1 +u 1 = 0.
En simplifiant 1 par u 1 , on obtient alors le polynôme caractéristique en r :
LCr
2 + RC r + 1 = 0, soit : r
2 +
+
= 0.
Ce polynôme admet deux solutions
2 , éventuellement confondues. Pour les
déterminer, on introduit les variables réduites du problème.
C.2.3 - Utilisation des variables réduites
• Pulsation propre
Elle correspond à la pulsation des oscillations du système en l’absence
d’amortissement (R = 0) 5 .
La tension u C aux bornes du condensateur d’un circuit RLC série soumis à
l’échelon de tension E vérifie l’équation différentielle du second ordre :
LC
+ RC
+ u C = E.
Définition 3
On définit la pulsation propre ω 0 du circuit LC par la relation
3 :
d 2 u C
dt 2
------------- -
du C
dt
----------t 0,
Ͼ
d 2 u 1
dt 2
-----------du 1
dt
--------- -
d 2 u 2
dt 2
-----------du 2
dt
--------- -
d 2 u 2
dt 2
-----------du 2
dt
--------- -
du 1
dt
--------- -
d 2 u 1
dt 2
-----------1. On élimine ainsi la solution
triviale u 1 = 0 qui ne correspond
pas à la réalité physique.
R
L
--- -r
1
LC
-------- -
2. Ce qui est logique, car l’équation
différentielle est du second ordre.
3. On retient plus aisément
l’expression : LCω 0
2
1.
=
ω 0 pulsation propre en s
–1 (ou rad · s
–1 )
4
L inductance en henry (H)
C capacité en farad (F)
w 0
1
LC
------------ -
=
4. La pulsation s’exprime en s
–1 ou
en rad · s
–1
. L’unité rad, définie
comme le rapport de deux
longueurs, est sans dimension. Les
unités s
–1 ou rad · s
–1 sont donc
équivalentes.
5. L’étude des oscillations libres du
circuit RLC série a été effectuée en
Terminale S. On caractérise
l’évolution temporelle du système
par la période propre T 0 ou la
pulsation propre ω 0 telles que :
T 0
2π
w 0
------ -
2π LC.
=
=
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