112
Chapitre 4 : Régimes transitoires
• Solution de l’équation différentielle
Pour t Ͼ 0, il faut résoudre l’équation différentielle avec second membre :
Par analogie avec l’équation différentielle vérifiée par la tension u C au § A.1.2,
la solution générale i de cette équation s’écrit
1 :
où A est une constante.
• Application des conditions de continuité
L’intensité i du courant dans l’inductance est continue. À l’instant t = 0, la
condition initiale sur l’intensité s’écrit : i(t = 0) = 0. On en déduit donc, en
posant t = 0 dans la solution générale de l’équation différentielle :
soit :
B.1.3 - Évolution de la tension u L
La tension u L aux bornes de l’inductance L est proportionnelle à la dérivée de
l’intensité i du courant :
soit :
La tension u L aux bornes de l’inductance est maximale à la fermeture de
l’interrupteur K. Pendant l’établissement du courant, elle décroît avec le
temps ; lorsque le courant est établi, l’inductance se comporte comme un fil
3 .
B.1.4 - Représentation graphique
• On trace les graphes représentant l’évolution au cours du temps de i et de u L
(fig. 8). L’intensité i du courant dans l’inductance est continue ; en revanche,
Définition 2
On définit la constante de temps τ du circuit RL par le rapport :
L’intensité i du courant traversant un circuit RL série soumis à l’échelon de
tension E a pour expression
2 :
avec
constante de temps (s).
τ constante de temps en seconde(s)
L inductance en henry (H)
R résistance en ohm (Ω)
t
L
R
---=
t
di
dt
------ i
+
E
R
---- .
=
1. Dans les deux cas, l’équation
différentielle est de la forme :
τ
dy
dt
------ y
+
cte.
=
i
i 1 i 2
+
A e
t
τ
-–
E
R
--- -,
+
=
=
2. Lorsque le courant est établi
(t → ∞), l’intensité i dans le circuit
vaut (car
). Cette
intensité maximale ne dépend pas
des conditions initiales. Elle
correspond à la solution
particulière constante i 2 . La
tension aux bornes du conducteur
ohmique est alors E.
E
R
-- -
e
t
τ
-–
0
→
0
A
E
R
--- -,
+
=
A
E
R
--- - .
–
=
i
E
R
---- 1 e
t
t
-–
–
,
=
τ
L
R
--- -
=
u L
L
di
dt
----- - ,
=
u L
LE
Rτ
------- -e
t
τ
-–
Ee
t
t
-–
.
=
=
3. Lorsque le courant est établi
(t → ∞), la tension u L aux bornes
de l’inductance est nulle.
i ( A )
0
τ
t ( s )
E
0
τ
t ( s )
E
e
--E
R
--- -
E
Re
------ -
u L ( V )
Fig. 8 - Évolution de i et de u L en fonction du temps.
KA_MPSI.book Page 112 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23
Chapitre 4 : Régimes transitoires
• Solution de l’équation différentielle
Pour t Ͼ 0, il faut résoudre l’équation différentielle avec second membre :
Par analogie avec l’équation différentielle vérifiée par la tension u C au § A.1.2,
la solution générale i de cette équation s’écrit
1 :
où A est une constante.
• Application des conditions de continuité
L’intensité i du courant dans l’inductance est continue. À l’instant t = 0, la
condition initiale sur l’intensité s’écrit : i(t = 0) = 0. On en déduit donc, en
posant t = 0 dans la solution générale de l’équation différentielle :
soit :
B.1.3 - Évolution de la tension u L
La tension u L aux bornes de l’inductance L est proportionnelle à la dérivée de
l’intensité i du courant :
soit :
La tension u L aux bornes de l’inductance est maximale à la fermeture de
l’interrupteur K. Pendant l’établissement du courant, elle décroît avec le
temps ; lorsque le courant est établi, l’inductance se comporte comme un fil
3 .
B.1.4 - Représentation graphique
• On trace les graphes représentant l’évolution au cours du temps de i et de u L
(fig. 8). L’intensité i du courant dans l’inductance est continue ; en revanche,
Définition 2
On définit la constante de temps τ du circuit RL par le rapport :
L’intensité i du courant traversant un circuit RL série soumis à l’échelon de
tension E a pour expression
2 :
avec
constante de temps (s).
τ constante de temps en seconde(s)
L inductance en henry (H)
R résistance en ohm (Ω)
t
L
R
---=
t
di
dt
------ i
+
E
R
---- .
=
1. Dans les deux cas, l’équation
différentielle est de la forme :
τ
dy
dt
------ y
+
cte.
=
i
i 1 i 2
+
A e
t
τ
-–
E
R
--- -,
+
=
=
2. Lorsque le courant est établi
(t → ∞), l’intensité i dans le circuit
vaut (car
). Cette
intensité maximale ne dépend pas
des conditions initiales. Elle
correspond à la solution
particulière constante i 2 . La
tension aux bornes du conducteur
ohmique est alors E.
E
R
-- -
e
t
τ
-–
0
→
0
A
E
R
--- -,
+
=
A
E
R
--- - .
–
=
i
E
R
---- 1 e
t
t
-–
–
,
=
τ
L
R
--- -
=
u L
L
di
dt
----- - ,
=
u L
LE
Rτ
------- -e
t
τ
-–
Ee
t
t
-–
.
=
=
3. Lorsque le courant est établi
(t → ∞), la tension u L aux bornes
de l’inductance est nulle.
i ( A )
0
τ
t ( s )
E
0
τ
t ( s )
E
e
--E
R
--- -
E
Re
------ -
u L ( V )
Fig. 8 - Évolution de i et de u L en fonction du temps.
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