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Cours
A.2. Décharge du condensateur
A.2.1 - Montage expérimental
• Pour étudier la décharge d’un condensateur de capacité C à travers un conducteur ohmique de résistance R, on réalise le montage schématisé sur la figure 5 :
– le condensateur a été chargé sous la tension U 0 constante ;
– pour t Ͻ 0, la tension aux bornes du condensateur chargé est égale à U 0 et
l’interrupteur K est ouvert ;
– à l’instant t = 0, on ferme l’interrupteur K.
• Dans ce circuit, on note u C la tension aux bornes du condensateur, i l’intensité du courant qu’il fournit et u R la tension aux bornes du conducteur ohmique. D’après les orientations choisies, le condensateur est étudié en
convention générateur (attention au signe) et le conducteur ohmique en convention récepteur
1 . On a donc :
u R = Ri et
d’où :
A.2.2 - Évolution de la tension u C
• Équation différentielle vérifiée par la tension u C
– Pour t Ͻ 0, l’interrupteur K est ouvert : l’intensité i est nulle, ainsi que la
tension u R . La tension E aux bornes du condensateur se retrouve donc aux
bornes de l’interrupteur ouvert K.
– Pour
la tension aux bornes de l’interrupteur K est nulle et on a :
u C = u R , soit : u C – u R = 0.
La constante de temps du circuit RC est encore égale à τ = RC.
• Expression de la tension u C
Le second membre étant nul, la solution générale de l’équation différentielle
est la solution u 1 de l’équation homogène du § A.1 :
où A est une constante.
L’énergie dissipée par effet Joule entre l’instant t = 0 et l’instant t vaut donc :
avec τ = RC et
d’où :
• L’expression de l’énergie E J en fonction de la tension u C est :
avec
(voir § A.1.2).
On obtient donc finalement :
et
La tension u C aux bornes d’un condensateur de capacité C se déchargeant
dans une résistance R vérifie l’équation différentielle du premier ordre :
E J = P J d t
0
t
∫
E 2
R
----- - e
2 t
τ
---- -
–
d t ,
0
t
∫
=
e
2t
τ
---- -
–
dt
0
t
∫
τ
2
-- - e
2t
τ
---- -
–
1
–
,
–
=
E J
1
2
-- -CE 2 1 e
2t
τ
---- -
–
–
.
=
E J
Cu C E
1
2
-- -u C
–
,
=
u C
E 1 e
t
τ
-–
–
=
E
1
2
-- -u C
–
1
2
-- -E 1 e
t
τ
-–
+
=
E J
1
2
-- -CE 2 1 e
t
τ
-–
–
1 e
t
τ
-–
+
1
2
-- -CE 2 1 e
2t
t
----–
–
.
=
=
i
u R
u C
R
C
K
Fig. 5 - Montage pour étudier la
décharge d’un condensateur
dans un circuit RC série.
1. On aurait pu aussi étudier le
condensateur en convention
récepteur et le conducteur
ohmique en convention
générateur. On aurait eu alors :
et u R = – Ri,
ce qui aurait conduit à la même
relation entre u R et u C . L’étude du
montage ne dépend pas de la
convention choisie.
i
C
du C
dt
-------- -
=
i
dq
dt
-----C
du C
dt
----------,
–
=
=
u R
RC
du C
dt
---------- .
–
=
t 0,
у
RC
du C
dt
----------- u C
+
0.
=
u C
u 1
Ae
t
τ
-–
,
=
=
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A.2. Décharge du condensateur
A.2.1 - Montage expérimental
• Pour étudier la décharge d’un condensateur de capacité C à travers un conducteur ohmique de résistance R, on réalise le montage schématisé sur la figure 5 :
– le condensateur a été chargé sous la tension U 0 constante ;
– pour t Ͻ 0, la tension aux bornes du condensateur chargé est égale à U 0 et
l’interrupteur K est ouvert ;
– à l’instant t = 0, on ferme l’interrupteur K.
• Dans ce circuit, on note u C la tension aux bornes du condensateur, i l’intensité du courant qu’il fournit et u R la tension aux bornes du conducteur ohmique. D’après les orientations choisies, le condensateur est étudié en
convention générateur (attention au signe) et le conducteur ohmique en convention récepteur
1 . On a donc :
u R = Ri et
d’où :
A.2.2 - Évolution de la tension u C
• Équation différentielle vérifiée par la tension u C
– Pour t Ͻ 0, l’interrupteur K est ouvert : l’intensité i est nulle, ainsi que la
tension u R . La tension E aux bornes du condensateur se retrouve donc aux
bornes de l’interrupteur ouvert K.
– Pour
la tension aux bornes de l’interrupteur K est nulle et on a :
u C = u R , soit : u C – u R = 0.
La constante de temps du circuit RC est encore égale à τ = RC.
• Expression de la tension u C
Le second membre étant nul, la solution générale de l’équation différentielle
est la solution u 1 de l’équation homogène du § A.1 :
où A est une constante.
L’énergie dissipée par effet Joule entre l’instant t = 0 et l’instant t vaut donc :
avec τ = RC et
d’où :
• L’expression de l’énergie E J en fonction de la tension u C est :
avec
(voir § A.1.2).
On obtient donc finalement :
et
La tension u C aux bornes d’un condensateur de capacité C se déchargeant
dans une résistance R vérifie l’équation différentielle du premier ordre :
E J = P J d t
0
t
∫
E 2
R
----- - e
2 t
τ
---- -
–
d t ,
0
t
∫
=
e
2t
τ
---- -
–
dt
0
t
∫
τ
2
-- - e
2t
τ
---- -
–
1
–
,
–
=
E J
1
2
-- -CE 2 1 e
2t
τ
---- -
–
–
.
=
E J
Cu C E
1
2
-- -u C
–
,
=
u C
E 1 e
t
τ
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–
=
E
1
2
-- -u C
–
1
2
-- -E 1 e
t
τ
-–
+
=
E J
1
2
-- -CE 2 1 e
t
τ
-–
–
1 e
t
τ
-–
+
1
2
-- -CE 2 1 e
2t
t
----–
–
.
=
=
i
u R
u C
R
C
K
Fig. 5 - Montage pour étudier la
décharge d’un condensateur
dans un circuit RC série.
1. On aurait pu aussi étudier le
condensateur en convention
récepteur et le conducteur
ohmique en convention
générateur. On aurait eu alors :
et u R = – Ri,
ce qui aurait conduit à la même
relation entre u R et u C . L’étude du
montage ne dépend pas de la
convention choisie.
i
C
du C
dt
-------- -
=
i
dq
dt
-----C
du C
dt
----------,
–
=
=
u R
RC
du C
dt
---------- .
–
=
t 0,
у
RC
du C
dt
----------- u C
+
0.
=
u C
u 1
Ae
t
τ
-–
,
=
=
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