105
Cours
• Solution de l’équation différentielle
Pour t Ͼ 0, il faut résoudre l’équation du premier ordre à coefficients constants avec second membre :
(1) Méthode de résolution mathématique
La solution générale de cette équation est la somme :
– de la solution générale u 1 de l’équation homogène associée :
;
– d’une solution particulière u 2 de l’équation.
(2) Solution particulière constante
Comme le second membre de l’équation est constant, on cherche comme
solution particulière une fonction constante :
avec
d’où : u 2 = E.
(3) Solution de l’équation homogène
On cherche une solution de l’équation homogène sous la forme :
u 1 = Ae
rt , où A est une constante et r un réel.
L’équation homogène s’écrit alors :
soit : τr u 1 + u 1 = 0.
En simplifiant 2 par u 1 , on obtient alors le polynôme caractéristique
3 en r :
τr + 1 = 0, d’où :
La solution générale de l’équation homogène est donc :
où A est une constante.
(4) Solution générale
La solution générale de l’équation différentielle avec second membre est :
u C = u 1 + u 2 , soit :
• Application des conditions de continuité
La tension u C aux bornes du condensateur est continue. À l’instant t = 0, la
condition initiale sur la tension s’écrit
4 : u C (t = 0) = 0. On en déduit donc, en
posant t = 0 dans la solution générale de l’équation différentielle :
0 = A + E, soit : A = – E.
Définition 1
On définit la constante de temps τ du circuit RC par le produit
1 :
1. On peut retrouver que τ a la
dimension d’un temps grâce aux
relations : q = Cu C et u R = Ri.
En effet :
– l’unité de C est celle d’une
charge (1 C = 1 A · s) divisée par
celle d’une tension (V), c’est-àdire A · s · V
–1 ;
– l’unité de R est celle d’une
tension (V) divisée par celle d’une
intensité (A), c’est-à-dire V · A
–1 .
Le produit RC s’exprime donc bien
en seconde (s).
t = RC
τ constante de temps en seconde(s)
R résistance en ohm (Ω)
C capacité en farad (F)
t
du 1
dt
---------- u C
+
E.
=
τ
du 1
dt
--------- - u 1
+
0
=
τ
du 2
dt
--------- - u 2
+
E
=
du 2
dt
--------- -
0,
=
du 1
dt
--------- -
Ar e rt
ru 1,
=
=
2. On élimine ainsi la solution
triviale u 1 = 0 qui ne correspond
pas à la réalité physique.
3. Ce polynôme n’admet qu’une
solution (ce qui est logique, car
l’équation différentielle est du
premier ordre).
r
1
τ
-- - .
–
=
u 1
Ae
t
τ
-–
,
=
u C
Ae
t
τ
-–
E.
+
=
4. L’équation différentielle étant
du premier ordre, connaître une
seule condition initiale suffit à
déterminer l’unique constante
d’intégration A.
KA_MPSI.book Page 105 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23
Cours
• Solution de l’équation différentielle
Pour t Ͼ 0, il faut résoudre l’équation du premier ordre à coefficients constants avec second membre :
(1) Méthode de résolution mathématique
La solution générale de cette équation est la somme :
– de la solution générale u 1 de l’équation homogène associée :
;
– d’une solution particulière u 2 de l’équation.
(2) Solution particulière constante
Comme le second membre de l’équation est constant, on cherche comme
solution particulière une fonction constante :
avec
d’où : u 2 = E.
(3) Solution de l’équation homogène
On cherche une solution de l’équation homogène sous la forme :
u 1 = Ae
rt , où A est une constante et r un réel.
L’équation homogène s’écrit alors :
soit : τr u 1 + u 1 = 0.
En simplifiant 2 par u 1 , on obtient alors le polynôme caractéristique
3 en r :
τr + 1 = 0, d’où :
La solution générale de l’équation homogène est donc :
où A est une constante.
(4) Solution générale
La solution générale de l’équation différentielle avec second membre est :
u C = u 1 + u 2 , soit :
• Application des conditions de continuité
La tension u C aux bornes du condensateur est continue. À l’instant t = 0, la
condition initiale sur la tension s’écrit
4 : u C (t = 0) = 0. On en déduit donc, en
posant t = 0 dans la solution générale de l’équation différentielle :
0 = A + E, soit : A = – E.
Définition 1
On définit la constante de temps τ du circuit RC par le produit
1 :
1. On peut retrouver que τ a la
dimension d’un temps grâce aux
relations : q = Cu C et u R = Ri.
En effet :
– l’unité de C est celle d’une
charge (1 C = 1 A · s) divisée par
celle d’une tension (V), c’est-àdire A · s · V
–1 ;
– l’unité de R est celle d’une
tension (V) divisée par celle d’une
intensité (A), c’est-à-dire V · A
–1 .
Le produit RC s’exprime donc bien
en seconde (s).
t = RC
τ constante de temps en seconde(s)
R résistance en ohm (Ω)
C capacité en farad (F)
t
du 1
dt
---------- u C
+
E.
=
τ
du 1
dt
--------- - u 1
+
0
=
τ
du 2
dt
--------- - u 2
+
E
=
du 2
dt
--------- -
0,
=
du 1
dt
--------- -
Ar e rt
ru 1,
=
=
2. On élimine ainsi la solution
triviale u 1 = 0 qui ne correspond
pas à la réalité physique.
3. Ce polynôme n’admet qu’une
solution (ce qui est logique, car
l’équation différentielle est du
premier ordre).
r
1
τ
-- - .
–
=
u 1
Ae
t
τ
-–
,
=
u C
Ae
t
τ
-–
E.
+
=
4. L’équation différentielle étant
du premier ordre, connaître une
seule condition initiale suffit à
déterminer l’unique constante
d’intégration A.
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