Chapitre 3 : Condensateurs et bobines – Dipôles linéaires
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La tension aux bornes de la bobine vaut :
La loi des nœuds s’écrit :
On dérive cette expression par rapport au temps :
L’équation différentielle se met alors sous la forme :
Pour pouvoir exploiter la relation donnée par la bobine, il est nécessaire de dériver la loi des nœuds par rapport au
temps. Techniquement, les calculs sont très simples.
b) • La tension aux bornes d’un condensateur est toujours continue. Comme le condensateur est initialement déchargé, on a donc :
• La tension aux bornes de la résistance étant nulle, il n’y circule aucun courant :
De même, le courant dans la bobine est continu, donc on a :
La loi des nœuds écrite à l’instant t = 0 + donne alors :
d’où :
Exercice 6
a)
• La loi des nœuds en N s’écrit :
(1)
• Le circuit possède deux mailles indépendantes, qui donne deux équations en appliquant la loi des
mailles :
• On reporte (1) et (3) dans (2) :
.
u
L
di L
dt
-------- - .
=
i
i R i L i C
+ +
u
R
--- - i L C
du
dt
------ - .
+ +
=
=
di
dt
----- -
1
R
--- -
du
dt
------ -
di L
dt
-------- - C
d 2 u
dt 2
--------- -
+
+
1
R
--- -
du
dt
------ -
u
L
--- - C
d 2 u
dt 2
--------- - .
+ +
=
=
LC
d 2 u
dt 2
--------- -
L
R
--- -
du
dt
------ - u
+
+
L
di
di
----- .
=
u 0 +
( )
u 0 –
( )
0.
=
=
i R 0 +
( )
0.
=
i L 0 +
( )
i L 0 –
( )
0.
=
=
i 0 +
( )
I 0
i C 0 +
( )
C
du
dt
------ - 0 +
( ),
=
=
=
du
dt
------- - 0 +
( )
I 0
C
---- .
=
i
u
i 2
C
dv 2
dt
--------=
C
i 1
C
dv 1
dt
--------=
N
R
C
v 2
v 1
R
ቢ
ባ
i
i 1 i 2
+
C
dv 1
dt
--------- C
dv 2
dt
--------+
=
=
maille 1 : u
R i v 1
(2)
+
=
maille 2 : v 1
RC
d v 2
d t
--------- v 2 (3)
+
=





u
RC
dv 1
dt
--------- RC
dv 2
dt
--------- RC
dv 2
dt
--------- v 2
+
+
+
=
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