Exercices
101
On reporte à nouveau (3) dans l’expression précédente :
.
b)
On repart des équations (1), (2) et (3) établies à la question précédente et on exprime i et v 2 en fonction de u et v 1 .
– De l’équation (2), on tire :
– On reporte ce résultat dans l’équation (1) :
(4)
– On reporte ce résultat dans l’équation (3) :
– On reporte ce résultat dans l’équation (4) :
On obtient finalement l’équation différentielle :
.
Les deux condensateurs ne jouent pas le même rôle dans le circuit. Les équations différentielles vérifiées par v 1 et
v 2 ne sont donc pas les mêmes.
c) • À t = 0, on a :
et
L’équation (3) donne alors :
• À t = 0, on a :
et
. L’équation (2) donne alors :
En reportant les deux résultats précédents dans (1), on a donc :
u
R 2 C 2 d 2 v 2
dt 2
------------ 3RC
dv 2
dt
--------- - v 2
+
+
=
i
u v 1
–
R
-------------- .
=
dv 2
dt
--------i
C
---dv 1
dt
--------–
u v 1
–
RC
-------------dv 1
dt
--------–
=
=
v 2
v 1 RC
dv 2
dt
--------–
2v 1 u
–
RC
dv 1
dt
--------- .
+
=
=
2
dv 1
dt
--------du
dt
------ -
–
RC
d 2 v 1
dt 2
-----------+
u
RC
-------- -
v 1
RC
-------- -
–
dv 1
dt
--------- .
–
=
RC
du
dt
------- - u
+
R 2 C 2 d 2 v 1
dt 2
------------ 3RC
dv 1
dt
--------- - v 1
+
+
=
v 1
V 10
=
v 2
0.
=
dv 2
dt
--------- - 0
( )
v 1 0
( ) v 2 0
( )
–
RC
--------------------------------- -
V 10
RC
-------- - .
=
=
u
U 0
=
v 1
V 10
=
i 0
( )
u 0
( ) v 1 0
( )
–
R
------------------------------U 0 V
– 10
R
---------------------- .
=
=
dv 1
dt
--------- - 0
( )
i 0
( )
C
---------- -
dv 2
dt
--------- 0
( )
–
U 0 V 10
–
RC
---------------------V 10
RC
-------- -
–
U 0 2V 10
–
RC
------------------------- .
=
=
=
KA_MPSI.book Page 101 Vendredi, 8. août 2003 11:20 23