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2.3 Formes polynomiales
Si vous placez à présent les racines s 1 et s 2 obtenues en (2.81) pour les
différentes valeurs de Q dans le plan complexe, vous obtenez un graphique tel
celui proposé en Figure 2.24. Dans le croquis (a), Q est faible, bien en dessous
de 0.5 et les pôles sont éloignés l’un de l’autre. La racine s p1 est proche de
l’origine et domine la réponse basse fréquence alors que s p2 va plutôt dominer
la réponse dans le haut du spectre. En (b), Q égale 0.5 et les racines sont
confondues : les pôles sont positionnés à la même fréquence mais la réponse
transitoire est dépourvue de tout dépassement et oscillations car il n’y a pas
de parties imaginaires dans s p1 et s p2 . Alors que Q augmente au-delà de 0.5
comme représenté en (c), les racines deviennent conjuguées et la réponse est
oscillatoire amortie. Les parties réelles représentent les pertes qui dissipent
de l’énergie et amortissent le système. En (d), aucune énergie n’est dissipée
cycle par cycle et le facteur de qualité Q approche l’infini. Le système est
non-amorti et oscille librement. Veuillez noter que les racines en (a), (b)
et (c) sont toutes situées dans le demi-plan gauche (LHP poles) : la réponse
dans le domaine temporel combine des termes exponentiels décroissant. En
d’autres termes, la réponse est bornée et ne diverge pas. Si l’un de ces pôles
était situé dans le demi-plan droit et devenait ainsi une racine positive (RHP
pole), la réponse divergerait et deviendrait non bornée.
j
x s p2
j
LHP
RHP
0
x
x
s p2
s p1
Q
Q < 0.5
0
x s p1
Q
j
j
Q
(a)
(d)
0
x
s p1
s p2
0
x
x
s p1
s p2
Q = 0.5
Q > 0.5
(b)
(c)
Figure 2.24 Les racines peuvent être placées dans le plan complexe (diagramme d’Argand). Ici, nous avons des pôles situés dans le demi-plan
gauche. La position des racines changent avec l’évolution du facteur de qualité Q. Les pôles sont représentés par des croix (×). Si vous deviez placer des
zéros, vous utiliseriez des cercles (o).
© Dunod - Toute reproduction non autorisée est un délit.
2.3 Formes polynomiales
Si vous placez à présent les racines s 1 et s 2 obtenues en (2.81) pour les
différentes valeurs de Q dans le plan complexe, vous obtenez un graphique tel
celui proposé en Figure 2.24. Dans le croquis (a), Q est faible, bien en dessous
de 0.5 et les pôles sont éloignés l’un de l’autre. La racine s p1 est proche de
l’origine et domine la réponse basse fréquence alors que s p2 va plutôt dominer
la réponse dans le haut du spectre. En (b), Q égale 0.5 et les racines sont
confondues : les pôles sont positionnés à la même fréquence mais la réponse
transitoire est dépourvue de tout dépassement et oscillations car il n’y a pas
de parties imaginaires dans s p1 et s p2 . Alors que Q augmente au-delà de 0.5
comme représenté en (c), les racines deviennent conjuguées et la réponse est
oscillatoire amortie. Les parties réelles représentent les pertes qui dissipent
de l’énergie et amortissent le système. En (d), aucune énergie n’est dissipée
cycle par cycle et le facteur de qualité Q approche l’infini. Le système est
non-amorti et oscille librement. Veuillez noter que les racines en (a), (b)
et (c) sont toutes situées dans le demi-plan gauche (LHP poles) : la réponse
dans le domaine temporel combine des termes exponentiels décroissant. En
d’autres termes, la réponse est bornée et ne diverge pas. Si l’un de ces pôles
était situé dans le demi-plan droit et devenait ainsi une racine positive (RHP
pole), la réponse divergerait et deviendrait non bornée.
j
x s p2
j
LHP
RHP
0
x
x
s p2
s p1
Q
Q < 0.5
0
x s p1
Q
j
j
Q
(a)
(d)
0
x
s p1
s p2
0
x
x
s p1
s p2
Q = 0.5
Q > 0.5
(b)
(c)
Figure 2.24 Les racines peuvent être placées dans le plan complexe (diagramme d’Argand). Ici, nous avons des pôles situés dans le demi-plan
gauche. La position des racines changent avec l’évolution du facteur de qualité Q. Les pôles sont représentés par des croix (×). Si vous deviez placer des
zéros, vous utiliseriez des cercles (o).
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