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2.3 Formes polynomiales
comment reprendre une fraction de polynômes telles celle de (2.71) afin de
la mettre en forme sous une expression à faible entropie.
Le degré du dénominateur, n, indique l’ ordre du circuit. Il fixe également
le nombre de pôles : si vous étudiez un réseau d’ ordre 3, il existe trois pôles
(trois racines pour un polynôme du troisième ordre). Même remarque pour le
numérateur : dans le cas d’une forme du second ordre, il existe deux zéros. Ces
pôles et zéros peuvent être réels, imaginaires ou conjugués. Ainsi, si 0 0
a b est
factorisé, on obtient une expression légèrement différente :
( ) =
+
+
+
+ +
+
+
+
+ +
H s H
a
a
s
a
a
s
a
a
s
a
a
s
b
b
s
b
b
s
b
b
s
b
b
s
1
...
1
...
m m
n n
0
1
0
2
0
2
3
0
3
0
1
0
2
0
2
3
0
3
0
(2.72)
Pour maintenir le numérateur et le dénominateur sans unité, a 1 /a 0 et b 1 /
b 0 doivent posséder la dimension d’un temps ou des
−
Hz
1
comme dans
(2.70). Pour des réseaux d’ ordre supérieur à 1, a 1 /a 0 et b 1 /b 0 sont les sommes
des constantes de temps du circuit obtenues dans certaines conditions. Si b 1 /
b 0 rassemble les constantes de temps naturelles dévoilées lorsque l’excitation
est réduite à 0, a 1 /a 0 sera obtenu en considérant une tension de sortie nullifiée
malgré la présence de l’ excitation. a 2 /a 0 et b 2 /b 0 seront multipliés par s
2
qui
possède la dimension de Hz
2
. Dès lors, a 2 /a 0 et b 2 /b 0 additionnent le produit
de deux constantes de temps pour former la dimension de temps² ou
−
Hz
2
. Si
l’ on continue, a 3 /a 0 et b 3 /b 0 sont multipliés par s
3
qui possède la dimension
de Hz
3
. Ainsi, a 3 /a 0 et b 3 /b 0 additionneront des produits de trois constantes
de temps pour former une dimension en temps
3
ou
−
Hz
3
. Vous continuez
ensuite jusqu’à l’ élément n. Ces explications peuvent apparaître obscures pour
le moment mais les exemples détaillés dans les chapitres suivants devraient
éclairer ces principes importants.
2.3.3 Formes polynomiales du deuxième ordre
Il n’ est pas aisé d’identifier des pôles et des zéros dans (2.71). Supposons que le
dénominateur D de notre fonction de transfert d’ ordre 2 apparaisse une forme
dans laquelle b 0 égale 1
( ) = + +
D s
b s b s
1 1
2
2
(2.73)
C’ est l’ expression que les techniques de calculs rapides vous permettront de
déterminer extrêmement rapidement. Pour obtenir la position des pôles, vous devez
© Dunod - Toute reproduction non autorisée est un délit.
2.3 Formes polynomiales
comment reprendre une fraction de polynômes telles celle de (2.71) afin de
la mettre en forme sous une expression à faible entropie.
Le degré du dénominateur, n, indique l’ ordre du circuit. Il fixe également
le nombre de pôles : si vous étudiez un réseau d’ ordre 3, il existe trois pôles
(trois racines pour un polynôme du troisième ordre). Même remarque pour le
numérateur : dans le cas d’une forme du second ordre, il existe deux zéros. Ces
pôles et zéros peuvent être réels, imaginaires ou conjugués. Ainsi, si 0 0
a b est
factorisé, on obtient une expression légèrement différente :
( ) =
+
+
+
+ +
+
+
+
+ +
H s H
a
a
s
a
a
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a
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1
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2
0
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0
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1
0
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2
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3
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(2.72)
Pour maintenir le numérateur et le dénominateur sans unité, a 1 /a 0 et b 1 /
b 0 doivent posséder la dimension d’un temps ou des
−
Hz
1
comme dans
(2.70). Pour des réseaux d’ ordre supérieur à 1, a 1 /a 0 et b 1 /b 0 sont les sommes
des constantes de temps du circuit obtenues dans certaines conditions. Si b 1 /
b 0 rassemble les constantes de temps naturelles dévoilées lorsque l’excitation
est réduite à 0, a 1 /a 0 sera obtenu en considérant une tension de sortie nullifiée
malgré la présence de l’ excitation. a 2 /a 0 et b 2 /b 0 seront multipliés par s
2
qui
possède la dimension de Hz
2
. Dès lors, a 2 /a 0 et b 2 /b 0 additionnent le produit
de deux constantes de temps pour former la dimension de temps² ou
−
Hz
2
. Si
l’ on continue, a 3 /a 0 et b 3 /b 0 sont multipliés par s
3
qui possède la dimension
de Hz
3
. Ainsi, a 3 /a 0 et b 3 /b 0 additionneront des produits de trois constantes
de temps pour former une dimension en temps
3
ou
−
Hz
3
. Vous continuez
ensuite jusqu’à l’ élément n. Ces explications peuvent apparaître obscures pour
le moment mais les exemples détaillés dans les chapitres suivants devraient
éclairer ces principes importants.
2.3.3 Formes polynomiales du deuxième ordre
Il n’ est pas aisé d’identifier des pôles et des zéros dans (2.71). Supposons que le
dénominateur D de notre fonction de transfert d’ ordre 2 apparaisse une forme
dans laquelle b 0 égale 1
( ) = + +
D s
b s b s
1 1
2
2
(2.73)
C’ est l’ expression que les techniques de calculs rapides vous permettront de
déterminer extrêmement rapidement. Pour obtenir la position des pôles, vous devez
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