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2.3 Formes polynomiales
Pour un pôle du premier ordre, l’ écriture est similaire. En s’inspirant des
expressions (2.21) et (2.33), le dénominateur D(s) pour un système du 1
er
ordre
s’ écrit d’une façon similaire, ici avec un simple réseau RC :
1
1
2 2
2
D s
sR C
sτ
( ) = +
= +
(2.41)
Pour obtenir la position du pôle, on résout
0
D s p
( )= ce qui nous conduit à
l’ expression suivante de la racine :
1
1
2 2
2
s
R C
p
τ
= −
= −
(2.42)
Parfois, le pôle se situe à l’ origine, impliquant que pour le continu, s = 0, le module
de la fonction de transfert s’approche de l’infini puisque son dénominateur s’annule :
1 ...
1
D s sτ
( )
(
)
=
+
(2.43)
La racine est ici s p = 0 d’ où le terme à l’ origine. Un système comportant un pôle
à l’ origine offre un gain statique infini. En réalité, ce gain est borné par le gain
en boucle ouverte de l’amplificateur opérationnel ou de tout autre amplificateur
présent. Quelques fois, il peut y avoir plusieurs pôles à l’ origine.
2
s dans (2.43)
indiquerait un double pôle,
3
s un triple pôle et ainsi de suite.
Le signe négatif dans (2.42) indique une racine placée dans le demi-plan gauche.
On parle en anglais de LHPP, left half-plane pole. Si la racine est positive, le pôle
est situé dans la partie droite du plan complexe. En anglais, on évoque alors
un right half-plane pole, RHPP. Comme nous l’avons fait pour le zéro, on peut
calculer le module de (2.42) et obtenir
1
0
1
2 2
2 2
R C
j R C
p
ω = −
+ =
(2.44)
Si l’ on réarrange (2.41) sous une forme familière, nous avons
1
D s
s
p
ω
( ) = +
(2.45)
La Figure 2.14 trace la réponse en fréquence typique d’un pôle seul placé à
1.6 kHz (pas de zéro) :
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