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2 Fonctions de transfert
90°. Un zéro dans le demi-plan gauche (RHPZ) est souvent désigné dans la
littérature technique comme un zéro instable.
Si l’ on observe la réponse du zéro, nous n’observons pas un module nul au
point où le zéro survient, 1.6 kHz. Est-ce que cela s’oppose à notre définition
mathématique du zéro ? La racine de ( ) = 0
N s
est un réel négatif dont la
valeur est définie par (2.36). Lorsque nous écrivons
ω
=
s j , nous considérons
uniquement les valeurs situées sur l’axe vertical imaginaire puisque s est
réduit à zéro en analyse harmonique. Dans cette approche, il est impossible
d’annuler le numérateur puisque s ne prend jamais la valeur définie par
(2.36). Il existe deux cas, cependant, pour lesquels le numérateur s’annule
vraiment et entraine une réponse égale à 0. Le premier cas concerne un zéro
à l’ origine, comme c’ est le cas avec un simple différentiateur RC dans lequel
un condensateur série bloque la propagation du continu. Le zéro est situé à
l’ origine, un point commun aux deux axes imaginaire et réel. Lorsque s égale
0 – vous polarisez l’ entrée du différentiateur avec une tension continue par
exemple – alors la réponse est vraiment 0 également. Le second cas apparaît
avec une paire de zéros non-amortis. Lorsque le facteur de qualité approche
l’infini (pas de pertes), alors les deux zéros deviennent complexes conjugués
et pour
1
2
s s
s
z
z
= = , le numérateur s’annule et engendre une sortie égale à 0.
Au laboratoire, cela reviendrait à câbler un réjecteur (notch filter) affecté
d’un fort facteur de qualité. Malgré une excitation injectée à l’entrée du filtre,
on n’observerait qu’un niveau infiniment faible en sortie sur l’oscilloscope,
témoignant de l’action des zéros.
R
C
10
RC
100
1
40
50
60
80
R 1 10k
C 1 10nF
R 1 C 1 100 s
z
H 1 s
( ) 1
s
z
10
20
30
20 log H 1 i 2 f k 10
20
40
60
arg H 1 i 2 f k
180
1.6 kHz
z
f
1.6 kHz
z
f
45
10
100
1 10
3
1 10
4
1 10
5
1 10
6
0
f k
10
100
1 10
3
1 10
4
1 10
5
1 10
6
0
f k
Figure 2.13 La réponse d’un zéro situé dans le demi-plan gauche
montre un gain qui augmente et une phase approchant 90° au-delà
de la position du zéro.
2 Fonctions de transfert
90°. Un zéro dans le demi-plan gauche (RHPZ) est souvent désigné dans la
littérature technique comme un zéro instable.
Si l’ on observe la réponse du zéro, nous n’observons pas un module nul au
point où le zéro survient, 1.6 kHz. Est-ce que cela s’oppose à notre définition
mathématique du zéro ? La racine de ( ) = 0
N s
est un réel négatif dont la
valeur est définie par (2.36). Lorsque nous écrivons
ω
=
s j , nous considérons
uniquement les valeurs situées sur l’axe vertical imaginaire puisque s est
réduit à zéro en analyse harmonique. Dans cette approche, il est impossible
d’annuler le numérateur puisque s ne prend jamais la valeur définie par
(2.36). Il existe deux cas, cependant, pour lesquels le numérateur s’annule
vraiment et entraine une réponse égale à 0. Le premier cas concerne un zéro
à l’ origine, comme c’ est le cas avec un simple différentiateur RC dans lequel
un condensateur série bloque la propagation du continu. Le zéro est situé à
l’ origine, un point commun aux deux axes imaginaire et réel. Lorsque s égale
0 – vous polarisez l’ entrée du différentiateur avec une tension continue par
exemple – alors la réponse est vraiment 0 également. Le second cas apparaît
avec une paire de zéros non-amortis. Lorsque le facteur de qualité approche
l’infini (pas de pertes), alors les deux zéros deviennent complexes conjugués
et pour
1
2
s s
s
z
z
= = , le numérateur s’annule et engendre une sortie égale à 0.
Au laboratoire, cela reviendrait à câbler un réjecteur (notch filter) affecté
d’un fort facteur de qualité. Malgré une excitation injectée à l’entrée du filtre,
on n’observerait qu’un niveau infiniment faible en sortie sur l’oscilloscope,
témoignant de l’action des zéros.
R
C
10
RC
100
1
40
50
60
80
R 1 10k
C 1 10nF
R 1 C 1 100 s
z
H 1 s
( ) 1
s
z
10
20
30
20 log H 1 i 2 f k 10
20
40
60
arg H 1 i 2 f k
180
1.6 kHz
z
f
1.6 kHz
z
f
45
10
100
1 10
3
1 10
4
1 10
5
1 10
6
0
f k
10
100
1 10
3
1 10
4
1 10
5
1 10
6
0
f k
Figure 2.13 La réponse d’un zéro situé dans le demi-plan gauche
montre un gain qui augmente et une phase approchant 90° au-delà
de la position du zéro.