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2 Fonctions de transfert
et des zéros en lisant l’ expression, sans passer par une phase de réorganisation
des coefficients présents au numérateur et dénominateur.
La fonction de transfert d’un système LTI sans retard pur peut être définie
comme le rapport de deux expressions polynomiales :
( )
( )
( )
=
H s
N s
D s
(2.34)
Le numérateur N(s) accueille les zéros de la fonction de transfert alors que les
pôles sont présents dans le dénominateur D(s). Les zéros sont les racines
de l’ équation
( ) = 0
N s
alors que les pôles sont les racines de l’équation
caractéristique, D(s) = 0. Mathématiquement, un zéro dans la fonction
( )
=
y f x
est la valeur de x pour laquelle y = 0. Alternativement, le pôle d’une fonction est
un point auquel le module de la fonction devient infini. C’ est une singularité.
Comme discuté au chapitre 1, un réseau transformé de Laplace possédant un
zéro et examiné à la valeur s = s z entraine la nullification du signal de sortie,
impliquant que le signal d’ entrée – le stimulus – ne produit pas de réponse.
Quelque part dans le circuit, un court-circuit transformé ou un circuit ouvert
dans le chemin électrique bloque le stimulus et la réponse en sortie est nulle :
v out
ˆ = 0 V ou
( )= 0
V
s
out
z
. Dans le circuit transformé et analysé pour s = s p ,
la valeur du pôle, le dénominateur de la fonction de transfert s’annule à 0 et la
réponse devient infinie.
Un zéro du 1
er
ordre au numérateur d’une fonction de transfert impliquant un
condensateur et une résistance suivrait la forme ci-après :
N s
sR C
s
1
1
1 1
1
τ
)
( = +
= +
(2.35)
Pour obtenir la position du zéro, on résout N s z
0
)
( = ce qui engendre la racine
suivante :
s
R C
z
1
1
1 1
1
τ
= −
= −
(2.36)
Parfois, le zéro peut apparaître à l’ origine, impliquant une tension de sortie nulle
pour une excitation en tension continue, s = 0.
τ
( )
(
)
=
+
N s s 1 ...
1
(2.37)