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2.2 Constantes de temps
Pour résoudre cette équation différentielle du 1
er
ordre, on peut appliquer la
transformée de Laplace à (2.13) en se souvenant qu’une différentiation est une
multiplication par s alors qu’une intégration implique une division par s.
C
0
1
y (t )
u (t)
i (t)
R
Figure 2.6 Un simple réseau RC.
En appliquant ce principe, nous obtenons la transformée de Laplace suivante,
considérant une tension initiale aux bornes du condensateur notée V 0 :
{
}
(
)
( )
( )
( )
( )
=
=
−
− 0
Y s
y t
U s RC sY s V
(2.14)
Si l’ on arrange cette expression en factorisant certains de ces termes, nous obtenons
Y s
U s
sRC
RCV
sRC
1
1
0
)
)
(
(
= +
+ +
(2.15)
Supposons que l’ on applique à l’ entrée du circuit un échelon de tension caractérisé
par une impulsion partant de 0 V et montant immédiatement à V 1 . Pour extraire
la réponse temporelle (time-domain response) de (2.15) à cet échelon, on remplace
U(s) par V 1 /s (la transformée de Laplace d’un échelon possédant une valeur V 1 )
et l’ on calcule la transformée inverse de Laplace du résultat :



{
} { }
{ }
( ) =
+
+
+
−
−
−
1
1
1
1
1
1
1
0
Y s
V
s
sRC
RCV
sRC
s
s
s
(2.16)
En appliquant les tables de transformées inverses de Laplace, on trouve un
résultat constitué de deux termes
( ) =
−




 




 
+
τ
τ
−
−
y t V
e
V e
1
t
t
1
0
(2.17)
Dans chacun de ces termes, il y a t , la constante de temps, égale à RC. Ces deux
termes forment la réponse totale du système étudié. Mathématiquement, (2.17)
peut être écrite
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