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2.1 Systèmes linéaires
2.1.2 La linéarisation du système
Si l’ on associe le dessin de la Figure 2.3 à un système électrique, on pourrait dire que la
sortie y est liée à l’ entrée u par un facteur de 0.5 à laquelle une tension de décalage de
2 V est ajoutée. Pour linéariser ce système, (afin de pouvoir appliquer les théorèmes
de Thévenin, Norton, superposition ou la transformée de Laplace), une méthode
largement adoptée est appelée perturbation. Chaque variable (u et y) est perturbée en
ajoutant une petite modulation alternative autour de sa valeur moyenne. L’amplitude
de la perturbation est supposée suffisamment faible afin d’ éviter toute saturation ou
distorsion dans le réseau analysé. Cette composante alternative est désignée par un petit
chapeau (^) placé sur la variable considérée écrite en minuscule ( ˆ
vout par exemple). La
composante continue (si elle existe) est habituellement écrite en majuscule et parfois
identifiée par un 0 indicé comme ci-dessous. Dans (2.3) nous avons deux variables, y
and u, alors perturbons-les :
y y y
ˆ
0
= +
(2.8)
u u u
ˆ 0
= +
(2.9)
Si l’ on substitue (2.8) et (2.9) dans (2.3), nous avons :
y y
u u
ˆ
0.5 ˆ
2
0
0 )
(
+ =
+
+
(2.10)
Nous développons et regroupons les termes alternatif et continu (ac and dc
terms) pour former un ensemble de deux équations. Tous les termes continus
multipliés par un terme alternatif (^) deviennent des composantes alternatives
alors que les produits croisés (c’ est-à-dire ˆ ˆ
yu ) sont éliminés car ce sont des
éléments non-linéaires de contribution négligeable. Ici, l’expression est assez
simple et il n’y a pas de problème pour trier les composantes alternatives et
continues (ac et dc) :
▶ Ac : =
ˆ 0.5 ˆ
y
u il s’agit de la fonction de transfert en petit signal ou incrémentale
▶ Dc :
=
+
0.5 2
0
0
y
u
c’ est la valeur du point de polarisation (bias point)
La somme des définitions ci-dessus forme la réponse large-signal. Pour étudier la
réponse en fréquence d’un système, seule nous intéresse la réponse petit-signal ˆ
y
et pas le décalage statique y 0 qui est invariable, indépendant de la fréquence. Cette
composante continue serait utilisée pour calculer un point de fonctionnement
par exemple. Nous pouvons maintenant redessiner la Figure 2.3 en séparant les
composantes continue et alternative comme indiqué en Figure 2.5 pour u 0 = 0.
© Dunod - Toute reproduction non autorisée est un délit.
2.1 Systèmes linéaires
2.1.2 La linéarisation du système
Si l’ on associe le dessin de la Figure 2.3 à un système électrique, on pourrait dire que la
sortie y est liée à l’ entrée u par un facteur de 0.5 à laquelle une tension de décalage de
2 V est ajoutée. Pour linéariser ce système, (afin de pouvoir appliquer les théorèmes
de Thévenin, Norton, superposition ou la transformée de Laplace), une méthode
largement adoptée est appelée perturbation. Chaque variable (u et y) est perturbée en
ajoutant une petite modulation alternative autour de sa valeur moyenne. L’amplitude
de la perturbation est supposée suffisamment faible afin d’ éviter toute saturation ou
distorsion dans le réseau analysé. Cette composante alternative est désignée par un petit
chapeau (^) placé sur la variable considérée écrite en minuscule ( ˆ
vout par exemple). La
composante continue (si elle existe) est habituellement écrite en majuscule et parfois
identifiée par un 0 indicé comme ci-dessous. Dans (2.3) nous avons deux variables, y
and u, alors perturbons-les :
y y y
ˆ
0
= +
(2.8)
u u u
ˆ 0
= +
(2.9)
Si l’ on substitue (2.8) et (2.9) dans (2.3), nous avons :
y y
u u
ˆ
0.5 ˆ
2
0
0 )
(
+ =
+
+
(2.10)
Nous développons et regroupons les termes alternatif et continu (ac and dc
terms) pour former un ensemble de deux équations. Tous les termes continus
multipliés par un terme alternatif (^) deviennent des composantes alternatives
alors que les produits croisés (c’ est-à-dire ˆ ˆ
yu ) sont éliminés car ce sont des
éléments non-linéaires de contribution négligeable. Ici, l’expression est assez
simple et il n’y a pas de problème pour trier les composantes alternatives et
continues (ac et dc) :
▶ Ac : =
ˆ 0.5 ˆ
y
u il s’agit de la fonction de transfert en petit signal ou incrémentale
▶ Dc :
=
+
0.5 2
0
0
y
u
c’ est la valeur du point de polarisation (bias point)
La somme des définitions ci-dessus forme la réponse large-signal. Pour étudier la
réponse en fréquence d’un système, seule nous intéresse la réponse petit-signal ˆ
y
et pas le décalage statique y 0 qui est invariable, indépendant de la fréquence. Cette
composante continue serait utilisée pour calculer un point de fonctionnement
par exemple. Nous pouvons maintenant redessiner la Figure 2.3 en séparant les
composantes continue et alternative comme indiqué en Figure 2.5 pour u 0 = 0.
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