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2.1 Systèmes linéaires
Quel type de fonction satisfait ce principe ? Supposons un système qui divise la
tension d’ entrée u par 2 et ajoute un décalage fixe (offset) de 2 V. La fonction y qui
décrit ce circuit pourrait s’ écrire
( ) =
+
0.5 2
y u
u
(2.3)
C’ est la droite décalée de la Figure 2.3. Cette fonction caractérise-t-elle un
système selon les propriétés décrites ?
y
u
2
y = 0.5u+2
Figure 2.3 Ce circuit divise la tension d’entrée u par 2 et
ajoute un décalage de 2 V.
Testons d’abord le principe de proportionnalité. Quelle valeur est retournée par
(2.3) pour deux u ?
( )= +
2
2
y u u
(2.4)
Ensuite, quel est le résultat y u
2
)
(
⋅
?
y u u
2
4
)
(
⋅
= +
(2.5)
La réponse de (2.5) est différente de celle retournée par (2.4). On peut donc dire que
le système décrit en Figure 2.3 est non-linéaire : vous avez reconnu une fonction
affine. Vérifions maintenant l’additivité avec deux niveaux d’ entrée différents :
▶ u = u 1 alors y 1 = 0.5u 1 + 2
▶ u = u 2 alors y 2 = 0.5u 2 + 2
Si nous ajoutons y 1 et y 2 pour former y, nous trouvons
0.5
4
1
2
y
u
u
(
)
=
+
+ .
Maintenant, si le stimulus est constitué de deux stimuli indépendants et additionnés,
u = u 1 + u 2 , alors
0.5
2
1
2
y
u
u
(
)
=
+
+ ce qui, à nouveau, ne satisfait pas le principe
d’additivité. En conclusion, le graphique dessiné en Figure 2.3 n’ est pas linéaire au
sens des définitions données.
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