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1 Analyse électrique – terminologie et théorèmes
Maintenant que le gain statique H 0 est déterminé, retournons à l’ équation (1.42).
En comparaison avec (1.37), cette fois, nous pouvons identifier deux constantes
de temps. L’une se trouve au numérateur et l’autre au dénominateur. Dans le chapitre 2, nous verrons que des fonctions de transfert associent des gains, des pôles
et des zéros. Sans dévoiler trop de détails maintenant, les zéros apparaissent au
numérateur N de la fonction de transfert alors que les pôles prennent place au
dénominateur D. En d’autres termes, τ 1 dans (1.42) correspond à la constante
de temps du zéro alors que τ 2 caractérise la constante de temps du pôle. Comme
déjà souligné, les deux termes impliquent un terme résistif R qui se combine avec
la réactance ou la capacitance considérée (C ou L). Parfois, si le circuit étudié s’y
prête, il est possible de déterminer par inspection les termes résistifs sans écrire
une ligne d’algèbre.
La définition mathématique d’un zéro dans une fonction ( )
f x est la valeur x
pour laquelle f retourne 0. Dans une fonction de transfert du premier ordre, un
zéro noté s z représente la racine du numérateur N. Lorsqu’un réseau comportant
un zéro est évalué à une valeur de s égale à s z , le numérateur N de la fonction
transfert s’annule :
( )=
N s
0
z
(1.49)
Par exemple, dans (1.41), lorsque = −
s
r
L
L
, une valeur réelle dans le plan complexe, le numérateur égale 0. Dans ces conditions, la fonction de transferts reliant la réponse à l’ excitation retourne également 0 :
( )
( )
( )
( ) ( )
=
=
=
V s
V s
N s
D s
D s
0
0
out z
in z
z
z
z
(1.50)
Si le module de la fonction de transfert est 0 pour s = s z , alors, en dépit de la
présence d’un signal V in , la réponse V out est égale à 0. De cette simple observation, nous pouvons en déduire que la présence d’un zéro dans une fonction de
transfert implique que la réponse s’annule lorsque le réseau transformé est étudié
pour s = s z . La Figure 1.32 illustre ce principe au travers d’un dessin simple.
+
V in (s z )
V out (s z ) = 0
N (s z ) = 0
Figure 1.32 Pour s = s z , le numérateur de la fonction de transfert
s’annule et la réponse disparaît.
1 Analyse électrique – terminologie et théorèmes
Maintenant que le gain statique H 0 est déterminé, retournons à l’ équation (1.42).
En comparaison avec (1.37), cette fois, nous pouvons identifier deux constantes
de temps. L’une se trouve au numérateur et l’autre au dénominateur. Dans le chapitre 2, nous verrons que des fonctions de transfert associent des gains, des pôles
et des zéros. Sans dévoiler trop de détails maintenant, les zéros apparaissent au
numérateur N de la fonction de transfert alors que les pôles prennent place au
dénominateur D. En d’autres termes, τ 1 dans (1.42) correspond à la constante
de temps du zéro alors que τ 2 caractérise la constante de temps du pôle. Comme
déjà souligné, les deux termes impliquent un terme résistif R qui se combine avec
la réactance ou la capacitance considérée (C ou L). Parfois, si le circuit étudié s’y
prête, il est possible de déterminer par inspection les termes résistifs sans écrire
une ligne d’algèbre.
La définition mathématique d’un zéro dans une fonction ( )
f x est la valeur x
pour laquelle f retourne 0. Dans une fonction de transfert du premier ordre, un
zéro noté s z représente la racine du numérateur N. Lorsqu’un réseau comportant
un zéro est évalué à une valeur de s égale à s z , le numérateur N de la fonction
transfert s’annule :
( )=
N s
0
z
(1.49)
Par exemple, dans (1.41), lorsque = −
s
r
L
L
, une valeur réelle dans le plan complexe, le numérateur égale 0. Dans ces conditions, la fonction de transferts reliant la réponse à l’ excitation retourne également 0 :
( )
( )
( )
( ) ( )
=
=
=
V s
V s
N s
D s
D s
0
0
out z
in z
z
z
z
(1.50)
Si le module de la fonction de transfert est 0 pour s = s z , alors, en dépit de la
présence d’un signal V in , la réponse V out est égale à 0. De cette simple observation, nous pouvons en déduire que la présence d’un zéro dans une fonction de
transfert implique que la réponse s’annule lorsque le réseau transformé est étudié
pour s = s z . La Figure 1.32 illustre ce principe au travers d’un dessin simple.
+
V in (s z )
V out (s z ) = 0
N (s z ) = 0
Figure 1.32 Pour s = s z , le numérateur de la fonction de transfert
s’annule et la réponse disparaît.