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4 Fonctions de transfert du deuxième ordre
avec τ =
=
R C R C
1 1
2 2 . Dans ces conditions, le pôle est situé à deux fois la position
du zéro :
2
p
z
ω
ω
=
Quelle est la fréquence à laquelle le gain est maximal ? On obtient cette valeur en
dérivant (4.244) par rapport à ω et annulant le résultat :
d
d
H
0
ω
ω
( ) =
Le module d’un quotient est le module du numérateur divisé par le module du
dénominateur. Nous avons alors :
j
j
1
1
1
1
z
p
z
p
2
2
2
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
+
+






=
+

 

 
+






Si nous dérivons, nous obtenons :
d
d
1
1
2
1
0
z
p
p
p
z
z
z
p
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
ω
ω
ω
ω
ω
ω ω ω ω
ω
ω
ω
ω
ω ω
(
)
(
)
+

 

 
+






= −
⋅
−
+
+

 

 
+
=
Il existe trois racines mais une seule nous intéresse :
2
p
z
max
2
2
ω
ω
ω
=
−
Quelle est la valeur du gain à cette résonance ? Nous connaissons avec (4.249)
la relation entre le pôle et le zéro. Grâce à ce résultat, on peut récrire (4.251) en
considérant uniquement le zéro :
H
4
4
z
z
z
z
2
2
2
2
2
2
ω
ω
ω ω
ω
ω
ω
( ) =
+
+
En utilisant (4.249) à nouveau, (4.253) devient :
ω
ω
= 2 z
max
(4.249)
(4.250)
(4.251)
(4.252)
(4.253)
(4.254)
(4.255)