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4 Fonctions de transfert du deuxième ordre
La fonction de transfert finale est ainsi définie par :
H s
a s
b s b s
R C R R C s
R C R R C s R R C C s
1
1
1
1
1
1
2
2
1 1
1
2
2
1 1
1
2
2
1 2 1 2
2
[
]
[
]
( )
(
)
(
)
=
+
+ +
=
+
+
+
+
+
+
+
Si vous observez cette équation, vous remarquez que a 1 et b 1 sont identiques.
Ainsi, (4.234) peut être récrite selon la forme suivante :
H s
b s
b s b s
1
1
1
1
2
2
( ) =
+
+ +
En considérant un faible facteur de surtension Q, le dénominateur peut être
reformulé pour satisfaire le format
s
s
1
1
p
p
1
2
ω
ω
+


 


  +


 


  . Si nous continuons de cette
façon, ω p1 va neutraliser le zéro (même fréquence) et nous aurons construit un
simple filtre passe-bas. Nous pourrions plutôt considérer des pôles coïncidents
placés à ω p lorsque Q est égal à 0.5 (voir chapitre 2). Dans ces conditions, on peut
reformuler le dénominateur selon l’ expression ci-après :
s
Q
s
s
1
1
p
0
0
2
2
ω
ω
ω
+
+





 = +


 


 
dans laquelle :
b
RR C C
1
1
p
0
2
1 2 1 2
ω ω
= =
=
Pour écrire ces équations et assurer leur validité, nous avons arbitrairement choisi
un facteur de qualité Q à 0.5. Quelles sont les valeurs des éléments parmi C 1 ,
C 2 , R 1 et R 2 qui mènent à un Q de 0.5 ? Depuis le chapitre 2, nous savons que
Q
b b
2 1
=
. Si Q = 0.5, alors nous devons satisfaire :
b
b
b
b
0.5
2
2
1
1
2
=
→ =
Si nous remplaçons b 1 et b 2 par leur définition respective, 1 2
τ τ
(
)
+
et 1 2
1
τ τ
( ) , alors
il faut résoudre l’ équation suivante :
R C R R C
RR C C
2
1 1
1
2
2
1 2 1 2
(
)
+
+
=
qui peut aussi être récrite sous la forme suivante :
R C
R C R C R C
R C
2
0
1 1
1 1
2 2
2 2
1 2
−
+



 +
=
(4.234)
(4.235)
(4.236)
(4.237)
(4.238)
(4.239)
(4.240)