225
4.1 Appliquer le théorème de l’extra-élément deux fois
R 1 1kΩ
:=
r C 3.3Ω
:=
r L 2.2Ω
:=
L 2 250μH
:=
|| x y
,
( )
x y
⋅
x y
+
:=
C 1 10nF
:=
Expression de référence
τ 1
r C R 1 || r L
+
(
) C 1
⋅
0.055μs
=
τ
=
:
2
L 2
R 1 r L
+
0.249μs
=
:=
H 0
r L
r L R 1
+
:=
Z 1 s
( ) r C
1
s C 1
⋅
+
:=
Z 2 s
( ) r L s L 2
⋅
+
:=
H ref s
( )
Z 1 s
( ) || Z 2 s
( )
R 1 Z 1 s
( ) || Z 2 s
( )
+
:=
τ 12
L 2
r L R 1 || r C
+
45.544μs
=
τ
=
:
21 C 1 r C R 1
+
(
)
⋅
10.033μs
=
:=
D 1 s
( ) 1 s τ 1 τ 2
+
(
)
⋅
+
s
2 τ 1 τ 12
⋅
(
)
⋅
+
:=
D 2 s
( ) 1 s τ 1 τ 2
+
(
)
⋅
+
s
2 τ 2 τ 21
⋅
(
)
⋅
+
:=
τ 1N r C C 1
⋅
33ns
=
τ
=
:
2N
L 2
r L
113.636 μs
=
:=
τ 21N r C C 1
⋅
33ns
=
τ
=
:
12N
L 2
r L
113.636 μs
=
:=
N 1 s
( ) 1 s τ 1N τ 2N
+
(
)
⋅
+
s
2 τ 1N τ 12N
⋅
(
)
⋅
+
:=
N 2 s
( ) 1 s τ 1N τ 2N
+
(
)
⋅
+
s
2 τ 2N τ 21N
⋅
(
)
⋅
+
:=
H 1 s
( ) H 0
N 1 s
( )
D 1 s
( )
⋅
:=
H 2 s
( ) H 0
N 2 s
( )
D 2 s
( )
⋅
:=
H 3 s
( ) H 0
N 1 s
( )
D 2 s
( )
⋅
:=
H 4 s
( ) H 0
N 2 s
( )
D 1 s
( )
⋅
:=
100
1 10
3
×
1 10
4
×
1 10
5
×
1 10
6
×
1 10
7
×
1 10
8
×
−60
−40
−20
0
20 log H 1 i 2
⋅ π fk
⋅
(
) 10
,
(
)
⋅
20 log H 2 i 2
⋅ π fk
⋅
(
) 10
,
(
)
⋅
20 log H 3 i 2
⋅ π fk
⋅
(
) 10
,
(
)
⋅
20 log H 4 i 2
⋅ π fk
⋅
(
) 10
,
(
)
⋅
20 log H ref i 2
⋅ π fk
⋅
(
) 10
,
(
)
⋅
fk
100
1 10
3
×
1 10
4
×
1 10
5
×
1 10
6
×
1 10
7
×
1 10
8
×
−100
−50
0
50
100
arg H 1 i 2
⋅ π fk
⋅
(
)
(
)
180
π
⋅
arg H 2 i 2
⋅ π fk
⋅
(
)
(
)
180
π
⋅
arg H 3 i 2
⋅ π fk
⋅
(
)
(
)
180
π
⋅
arg H 4 i 2
⋅ π fk
⋅
(
)
(
)
180
π
⋅
arg H ref i 2
⋅ π fk
⋅
(
)
(
)
180
π
⋅
fk
Figure 4.18 Toutes les réponses se superposent tant en phase qu’en amplitude.
Maintenant que nous avons des formes polynomiales pour N et D, nous pouvons
les réarranger afin de suivre le format appris au chapitre 2. En partant du numérateur, nous avons :
N s
a s a s
1 1
2
2
( ) = + +
Supposons que nous n’ayons pas immédiatement vu la forme factorisée donnée
en (4.54). On peut évaluer le facteur de qualité Q N défini par :
Q
a
a
N
2
1
=
Si l’ on applique les valeurs numériques de la feuille Mathcad®, nous obtenons un
Q N de 0.017, indiquant que les zéros sont bien séparés (Q N << 1) : on peut alors
appliquer la formule approximative (low-Q approximation) définie au chapitre 2.
En utilisant cet outil, on peut définir la position des deux zéros :
a
a
z
N
N
N N
1
1
2
1
2
1
2
1
ω
τ
τ
τ τ
= =
+
a
1
1
z
N
N
2
1
1
2
ω
τ
τ
= =
+
(4.55)
(4.56)
(4.57)
(4.58)
© Dunod - Toute reproduction non autorisée est un délit.
4.1 Appliquer le théorème de l’extra-élément deux fois
R 1 1kΩ
:=
r C 3.3Ω
:=
r L 2.2Ω
:=
L 2 250μH
:=
|| x y
,
( )
x y
⋅
x y
+
:=
C 1 10nF
:=
Expression de référence
τ 1
r C R 1 || r L
+
(
) C 1
⋅
0.055μs
=
τ
=
:
2
L 2
R 1 r L
+
0.249μs
=
:=
H 0
r L
r L R 1
+
:=
Z 1 s
( ) r C
1
s C 1
⋅
+
:=
Z 2 s
( ) r L s L 2
⋅
+
:=
H ref s
( )
Z 1 s
( ) || Z 2 s
( )
R 1 Z 1 s
( ) || Z 2 s
( )
+
:=
τ 12
L 2
r L R 1 || r C
+
45.544μs
=
τ
=
:
21 C 1 r C R 1
+
(
)
⋅
10.033μs
=
:=
D 1 s
( ) 1 s τ 1 τ 2
+
(
)
⋅
+
s
2 τ 1 τ 12
⋅
(
)
⋅
+
:=
D 2 s
( ) 1 s τ 1 τ 2
+
(
)
⋅
+
s
2 τ 2 τ 21
⋅
(
)
⋅
+
:=
τ 1N r C C 1
⋅
33ns
=
τ
=
:
2N
L 2
r L
113.636 μs
=
:=
τ 21N r C C 1
⋅
33ns
=
τ
=
:
12N
L 2
r L
113.636 μs
=
:=
N 1 s
( ) 1 s τ 1N τ 2N
+
(
)
⋅
+
s
2 τ 1N τ 12N
⋅
(
)
⋅
+
:=
N 2 s
( ) 1 s τ 1N τ 2N
+
(
)
⋅
+
s
2 τ 2N τ 21N
⋅
(
)
⋅
+
:=
H 1 s
( ) H 0
N 1 s
( )
D 1 s
( )
⋅
:=
H 2 s
( ) H 0
N 2 s
( )
D 2 s
( )
⋅
:=
H 3 s
( ) H 0
N 1 s
( )
D 2 s
( )
⋅
:=
H 4 s
( ) H 0
N 2 s
( )
D 1 s
( )
⋅
:=
100
1 10
3
×
1 10
4
×
1 10
5
×
1 10
6
×
1 10
7
×
1 10
8
×
−60
−40
−20
0
20 log H 1 i 2
⋅ π fk
⋅
(
) 10
,
(
)
⋅
20 log H 2 i 2
⋅ π fk
⋅
(
) 10
,
(
)
⋅
20 log H 3 i 2
⋅ π fk
⋅
(
) 10
,
(
)
⋅
20 log H 4 i 2
⋅ π fk
⋅
(
) 10
,
(
)
⋅
20 log H ref i 2
⋅ π fk
⋅
(
) 10
,
(
)
⋅
fk
100
1 10
3
×
1 10
4
×
1 10
5
×
1 10
6
×
1 10
7
×
1 10
8
×
−100
−50
0
50
100
arg H 1 i 2
⋅ π fk
⋅
(
)
(
)
180
π
⋅
arg H 2 i 2
⋅ π fk
⋅
(
)
(
)
180
π
⋅
arg H 3 i 2
⋅ π fk
⋅
(
)
(
)
180
π
⋅
arg H 4 i 2
⋅ π fk
⋅
(
)
(
)
180
π
⋅
arg H ref i 2
⋅ π fk
⋅
(
)
(
)
180
π
⋅
fk
Figure 4.18 Toutes les réponses se superposent tant en phase qu’en amplitude.
Maintenant que nous avons des formes polynomiales pour N et D, nous pouvons
les réarranger afin de suivre le format appris au chapitre 2. En partant du numérateur, nous avons :
N s
a s a s
1 1
2
2
( ) = + +
Supposons que nous n’ayons pas immédiatement vu la forme factorisée donnée
en (4.54). On peut évaluer le facteur de qualité Q N défini par :
Q
a
a
N
2
1
=
Si l’ on applique les valeurs numériques de la feuille Mathcad®, nous obtenons un
Q N de 0.017, indiquant que les zéros sont bien séparés (Q N << 1) : on peut alors
appliquer la formule approximative (low-Q approximation) définie au chapitre 2.
En utilisant cet outil, on peut définir la position des deux zéros :
a
a
z
N
N
N N
1
1
2
1
2
1
2
1
ω
τ
τ
τ τ
= =
+
a
1
1
z
N
N
2
1
1
2
ω
τ
τ
= =
+
(4.55)
(4.56)
(4.57)
(4.58)
© Dunod - Toute reproduction non autorisée est un délit.