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4 Fonctions de transfert du deuxième ordre
Si l’ on substitue les constantes de temps définies par (4.37), nous obtenons :
D s
s C r R r
L
R r
s
L
R r
C r R
1
| |
C
L
L
L
C
1
1
2
1
2
2
1
1
1
(
)
( )
(
)
= +
+
+ +





 +
+
+






Dans (4.36), b 2 est égal à :
b
C r R r
L
r R r
||
||
C
L
L
C
2
1 2
1
1
1
2
1
τ τ
(
)
=
=
+
+
Alors qu’ en (4.38), il vaut :
b
L
R r
C r R
L
C
2
2 1
2
2
1
1
1
τ τ
(
)
=
= +
+
Si vous développez (4.39), vous obtenez (4.40).
Quel est l’intérêt de pouvoir choisir entre deux expressions pour s² dans D(s) ?
Le premier avantage est la simplicité : selon la combinaison retenue, 1 2
1
τ τ or 2 1
2
τ τ ,
on peut trouver que l’une des expressions est naturellement simple alors que la
seconde réclame un effort supplémentaire pour la factoriser. Par exemple, dans
notre cas, (4.40) est plus simple que (4.39) au premier abord. Pour cette raison,
il est possible que vous vous engagiez en premier en faveur de 1 2
1
τ τ pour ensuite
réaliser que 2 1
2
τ τ mène en fait à un résultat final plus facile à manipuler. Vous
avez le choix, le résultat final restera identique quelle que soit la combinaison
retenue. La seconde justification est la levée d’une possible indétermination qui
peut se présenter lors du produit des constantes de temps. Mathématiquement,
les indéterminations surviennent lors des opérations suivantes :
0
0
0
∞
∞
∞−∞
⋅∞
Veuillez noter que 0 ∞ n’ est pas indéterminé et retourne 0.
Supposons une constante de temps τ 1 égale à 0 simplement parce que la résistance vue des connexions de L 1 pour s = 0 est infinie (l’une de ses branches est
ouverte dans la configuration considérée) :
L 0
1
1
τ = ∞
=
Lorsque cette constante de temps est multipliée par la seconde constante de
temps 2
1
τ obtenue lorsque L 1 est placée dans son état haute impédance (la bobine
(4.38)
(4.39)
(4.40)
(4.41)