131
3.1 Le théorème de superposition
Cette expression peut se substituer dans l’ équation (3.24) qui devient alors
=
−
=
=
=
y
u
B u
A
A
B
y
y
y
2
0
2
0 2
2
0
2
1
1
1
1
1
En factorisant
=
u y
2
0
1
, on obtient
=
−
=
=
y
u
A B A B
A
y
y
2
0
2
0
1 2
2 1
1
1
1
Si l’ on réarrange l’ ensemble sous la forme d’une fonction de transfert liant y 2 à u 2
lorsque y 1 est nullifiée, on obtient
=
−
=
y
u
A B A B
A
y
2
2
0
1 2
2 1
1
1
Veuillez noter que cette définition diffère de celle donnée par (3.20) qui correspond à l’ entrée u 1 mise à 0. Ici, nous évoquons le même ratio, mais nous l’avons
déterminé en nullifiant la sortie y 1 . De façon pratique, pour un système 2-entrées /
2-sorties pour lequel les gains internes A et B ont été identifiés, il est possible d’ obtenir le gain liant y 2 à u 2 en nullifiant y 1 et en appliquant (3.28) sans mesurer y u
2
2 .
Tentons une petite expérience afin de vérifier si ces expressions possèdent un sens
physique. La Figure 3.13 montre à quoi notre boite noire originale pourrait ressembler avec différentes valeurs pour A et B. Voyons si l’ on peut calculer des valeurs de
point de polarisation pour u 1 et u 2 si l’ on souhaite nullifier y 1 comme indiqué auparavant. En utilisant (3.23) on extrait le ratio liant u 1 à u 2 lorsque y 1 est nullifiée :
= −
=
u
u
A
A
y
1
2
0
2
1
1
Nous obtenons le même résultant qu’avec (3.25)
= −
=
=
u
A
A
u
y
y
1
0
2
1
2
0
1
1
En appliquant les valeurs de la Figure 3.13
= −
= −
=
=
=
u
u
u
2
5
0.4
y
y
y
1
0
2
0
2
0
1
1
1
De façon similaire, à partir de (3.28), nous pouvons calculer la valeur de la sortie
2 pour u 1 et u 2 qui nullifient y 1 :
=
−
=
× − ×
=
=
=
=
=
y
A B A B
A
u
u
u
5 6 2 3
5
4.8
y
y
y
y
2
0
1 2
2 1
1
2
0
2
0
2
0
1
1
1
1
(3.26)
(3.27)
(3.28)
(3.29)
(3.30)
(3.31)
(3.32)
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3.1 Le théorème de superposition
Cette expression peut se substituer dans l’ équation (3.24) qui devient alors
=
−
=
=
=
y
u
B u
A
A
B
y
y
y
2
0
2
0 2
2
0
2
1
1
1
1
1
En factorisant
=
u y
2
0
1
, on obtient
=
−
=
=
y
u
A B A B
A
y
y
2
0
2
0
1 2
2 1
1
1
1
Si l’ on réarrange l’ ensemble sous la forme d’une fonction de transfert liant y 2 à u 2
lorsque y 1 est nullifiée, on obtient
=
−
=
y
u
A B A B
A
y
2
2
0
1 2
2 1
1
1
Veuillez noter que cette définition diffère de celle donnée par (3.20) qui correspond à l’ entrée u 1 mise à 0. Ici, nous évoquons le même ratio, mais nous l’avons
déterminé en nullifiant la sortie y 1 . De façon pratique, pour un système 2-entrées /
2-sorties pour lequel les gains internes A et B ont été identifiés, il est possible d’ obtenir le gain liant y 2 à u 2 en nullifiant y 1 et en appliquant (3.28) sans mesurer y u
2
2 .
Tentons une petite expérience afin de vérifier si ces expressions possèdent un sens
physique. La Figure 3.13 montre à quoi notre boite noire originale pourrait ressembler avec différentes valeurs pour A et B. Voyons si l’ on peut calculer des valeurs de
point de polarisation pour u 1 et u 2 si l’ on souhaite nullifier y 1 comme indiqué auparavant. En utilisant (3.23) on extrait le ratio liant u 1 à u 2 lorsque y 1 est nullifiée :
= −
=
u
u
A
A
y
1
2
0
2
1
1
Nous obtenons le même résultant qu’avec (3.25)
= −
=
=
u
A
A
u
y
y
1
0
2
1
2
0
1
1
En appliquant les valeurs de la Figure 3.13
= −
= −
=
=
=
u
u
u
2
5
0.4
y
y
y
1
0
2
0
2
0
1
1
1
De façon similaire, à partir de (3.28), nous pouvons calculer la valeur de la sortie
2 pour u 1 et u 2 qui nullifient y 1 :
=
−
=
× − ×
=
=
=
=
=
y
A B A B
A
u
u
u
5 6 2 3
5
4.8
y
y
y
y
2
0
1 2
2 1
1
2
0
2
0
2
0
1
1
1
1
(3.26)
(3.27)
(3.28)
(3.29)
(3.30)
(3.31)
(3.32)
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