126
3 Superposition et le théorème de l’extra-élément
En substituant (3.6) dans (3.7), on obtient la première tension V o1 lorsque V 1
égale 0 V :
[
]
(
)
=
+
+
V
I R R R
R
R R
||
o1
1
1
2
3
3
2
3
La seconde tension est obtenue à l’aide du croquis (c) dans lequel la source de
courant est éteinte. La tension de sortie V o2 est obtenue, une fois encore, en utilisant le diviseur résistif impliquant R 3 en série avec R 1 et R 2 :
V
V
R
R R R
o2
1
3
1
2
3
=
+ +
La tension finale développée aux bornes de R 3 est ainsi la somme de V o1 et de V o2
qui donne :
[
]
(
)
=
+
=
+
+
+
+ +
V
V V
I R R R
R
R R
V
R
R R R
||
out
o
o
1
2
1
1
2
3
2
2
3
1
3
1
2
3
Nous pouvons vérifier nos calculs en simulant un point de polarisation (.DC)
sous SPICE et en utilisant une simple feuille Mathcad® comme présenté en Figure 3.6.
2
V1
12
1
R1
15
4
R2
38
I1
2
R3
50
12.0V
35.9V
20.4V
R 1 15Ω
:=
R 2 38Ω
:=
R 3 50Ω
:=
V 1 12V
:=
I 1 2A
:=
x y
|| ,
( )
x y
.
x y
+
:=
V o1 I 1 R 1 || R 2 R 3
+
(
)
.
R 3
R 2 R 3
+
.
14.563V
=
:=
V o2 V 1
R 3
R 1 R 2
+
R 3
+
.
5.825V
=
:=
V out
V o1 V o2
+
20.388V
=
:=
Figure 3.6 Une feuille Mathcad
®
et un calcul de point de polarisation
sous SPICE nous confirment les calculs menés.
Un deuxième exemple comportant une source dépendante apparaît en Figure 3.7.
Une source de tension polarise un réseau résistif et délivre un courant I 1 . Puis
une source de courant I a polarise le nœud intermédiaire 2 auquel se connecte
une source de tension contrôlée par le courant I 1 via la résistance R 2 . Quelle est
la valeur de I 1 ?
1
2
3
5
4
6
7
8
9
(a)
)
c
(
)
b
(
a
I
1
R
1
I
1a
I
1b
I
2
I
2
R
1
3I
1
V
1
R
2
R
1
3 a
I
1
R
2
R
a
I
1
R
V
2
R
V
1
3 b
I
1
V
Figure 3.7 Dans cet exemple, une source dépendante délivrant 3I 1 est
ajoutée au côté droit du circuit et polarise le nœud 2 via la résistance R 2 .
(3.8)
(3.9)
(3.10)
3 Superposition et le théorème de l’extra-élément
En substituant (3.6) dans (3.7), on obtient la première tension V o1 lorsque V 1
égale 0 V :
[
]
(
)
=
+
+
V
I R R R
R
R R
||
o1
1
1
2
3
3
2
3
La seconde tension est obtenue à l’aide du croquis (c) dans lequel la source de
courant est éteinte. La tension de sortie V o2 est obtenue, une fois encore, en utilisant le diviseur résistif impliquant R 3 en série avec R 1 et R 2 :
V
V
R
R R R
o2
1
3
1
2
3
=
+ +
La tension finale développée aux bornes de R 3 est ainsi la somme de V o1 et de V o2
qui donne :
[
]
(
)
=
+
=
+
+
+
+ +
V
V V
I R R R
R
R R
V
R
R R R
||
out
o
o
1
2
1
1
2
3
2
2
3
1
3
1
2
3
Nous pouvons vérifier nos calculs en simulant un point de polarisation (.DC)
sous SPICE et en utilisant une simple feuille Mathcad® comme présenté en Figure 3.6.
2
V1
12
1
R1
15
4
R2
38
I1
2
R3
50
12.0V
35.9V
20.4V
R 1 15Ω
:=
R 2 38Ω
:=
R 3 50Ω
:=
V 1 12V
:=
I 1 2A
:=
x y
|| ,
( )
x y
.
x y
+
:=
V o1 I 1 R 1 || R 2 R 3
+
(
)
.
R 3
R 2 R 3
+
.
14.563V
=
:=
V o2 V 1
R 3
R 1 R 2
+
R 3
+
.
5.825V
=
:=
V out
V o1 V o2
+
20.388V
=
:=
Figure 3.6 Une feuille Mathcad
®
et un calcul de point de polarisation
sous SPICE nous confirment les calculs menés.
Un deuxième exemple comportant une source dépendante apparaît en Figure 3.7.
Une source de tension polarise un réseau résistif et délivre un courant I 1 . Puis
une source de courant I a polarise le nœud intermédiaire 2 auquel se connecte
une source de tension contrôlée par le courant I 1 via la résistance R 2 . Quelle est
la valeur de I 1 ?
1
2
3
5
4
6
7
8
9
(a)
)
c
(
)
b
(
a
I
1
R
1
I
1a
I
1b
I
2
I
2
R
1
3I
1
V
1
R
2
R
1
3 a
I
1
R
2
R
a
I
1
R
V
2
R
V
1
3 b
I
1
V
Figure 3.7 Dans cet exemple, une source dépendante délivrant 3I 1 est
ajoutée au côté droit du circuit et polarise le nœud 2 via la résistance R 2 .
(3.8)
(3.9)
(3.10)