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6.2. Calcul des éléments de matrice
puisqu'on applique un opérateur d'annihilation au vide. Le seul terme qui ne s'annule
pas est celui qui détruit 1 'état initial et recrée 1' état final, ce qui était attendu. Le calcul
de Sfi sélectionne parmi tous les vertex décrits par le lagrangien (voir figure 5.1)
celui (ou ceux) qui correspond à l'interaction étudiée. L'élément de matrice se réduit
alors à:
sr= -iil.1 Jd3zd3qd3l' .2:
l
1
(27r)~
r,r' Y2W'L ~ Y2WÇ
J
.4 -
i(z+r -q)x
X
a X
ps p' s' z,raq l' ,r'ak Uz,rUz
1 ,r'e
.
On peut réécrire le braket :
Puis, en utilisant le fait que :
[aq, a;]_ = Ôqk ~ aqa; = Ôqk + aka;,
[bpsi bt,.L = ÔptÔrs ~ bpsbt,. = ÔptÔrs - bt,.bps,
[dp' s' , d;,,., L = Ôp
1
t
1
Ôr
1
s' ~ dp
1
s
1
d;,,., = Ôp
1 t
1
Ôr
1
s' - d;,,.,dp' s' ,
il vient :
Les symboles de Kronecker permettent de simplifier l'expression de St i :
-ÎÀj'
1
J
_
·
-
.'4
i(p+p' -k)x
Sji - - - 9
Up,sVp',s'
a xe
.
(2n) 2 ~ ~ -V2wp'
(6.35)
(6.36)
(6.37)
(6.38)
(6.39)
(6.40)
(6.41)
Enfin, on reconnaît dans la dernière intégrale une transformée de Fourier inverse de
la fonction constante f(x) = 1, qui donne une distribution de Dirac :
J rf xei(p+p'-k)x = ô(p + p' - k),
(6.42)
d'où finalement :
(6.43)
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