"O
0
c
::J
0
('\"')
T"-f
0
N
@
~
..c
Ol
ï::::
>a.
0
u
Chapitre 6 • Diagrammes de Feynman
82
En introduisant les expressions analytiques des champs données par les éq uations ( 4.33), ( 4.36) et ( 4.37), il vient alors :
Sji = -iÀJ J d
4 x[(lbpsdp's'
1 I d3z 1 ~ ( - b+ .ilx - d -ilx)
X - - 3
_ ~ LJ U[,r z re + U[,r 1,re
(2n) 2
v2wz r=l,2
'
=If
1 I 3 1 [ . . _J
X - -
d q
a e-iqx + a+eiqx
3
~
q
q
( 2n) 2
-y ,_w q
(6.32)
=h
1 I 3 I l ~ ( - il' X + il' X)
X - - J
dl -~ LJ U[
1
,rbt
1 ,,1
e
+ V[
1 ,,1
d 1 ,,r,e
(2n) 2
v2w1
1 r'=l,2
=if;
X a; 1)].
Dans cette expression, on peut inverser l'ordre des différentes intégrales et sommes.
De plus, Je produit de champs se développe en 8 termes contenant des opérateurs
création et annihilation. L' élement de matrice devient alors :
sfi = -iA~ Jd3td3qd3z' ~
1
(2n)ï
r,r' YlWz ~ Y2Wf
X J d4 X [ (lbpsdp' s'btraqbl' ,,.,a;I) Üt,rUl' ,r'ei(l-q-l')x
(lb d b + d+ +1) -
,Al- q+l')x
+ ps p's' l,raq l',r'ak Uz,rV/',r'e
(lb d b + +b +1).i(l+q-l')x
+ ps p' s' l,raq [' ,r' ak Uz,rU/
1
,r' e
(lb d b + +d+ +1).i(l+q+l')x
+ ps p' s' l,raq l' ,r'ak Uz,rVZ' ,r'e
(6.33)
+ (lbpsdp' s'dt,raqbl' ,r'a:I) Üt,rU[' ,r'ei(- l- q- l')x
+ (lbpsdp' s'dt,raqd; ,,.,a;I) Üt,rVL' ,r'ei(- l- q+l')x
+ (lbpsdp' s'dt,,-a; br ,,.,a; 1) Üt,rUf' ,r'ei(- l+q- l')x
+ (lbpsdp' s'dt,,-a;d;,r'a; 1) Üt,rVL' ,r'ei(- l+q+l')x] .
En utilisant les règles de commutation et d' anticommutation des opérateurs,
on montre que sept des huit termes sont nuls. Ainsi, dans le premier terme,
(1bpsdp's'btraqbl',r'a;1), l'opérateur bl',r' commute avec a; et:
(1bpsdp
1
s
1
btraqb1
1
,r'a;1) = (1bpsdp
1
s
1
bt,.aqbl',r'a;bl',r'1) = 0,
(6.34)