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6.1. Processus de diffusion
diffusion, qu'il s'agisse de la désintégration d'une particule (état initial à une seule
paiticule) ou de 1a collision entre deux particules. C'est donc principalement ce type
de processus que l'on souhaite décrire, le but final étant de pouvoir calculer les probabilités de transition et les sections efficaces d'interaction à partir de la théorie.
Prenons l'exemple de l'annihilation d'un électron et d'un positron donnant naissance à un muon et à un antimuon. Cette interaction a été extensivement étudiée expérimentalement. Pour la décrire complètement, il faut connaître le lagrangien libre
du champ de l'électron, L 0 , celui du champ du muon, L~, ainsi que le lagrangien
d'interaction, L;~,, couplant les quatre particules. Le lagrangien total est alors :
(6.11)
La probabilité de transition de 1 'état initia] vers l'état fina1 est donné par le recouvrement des états à t = +oo :
P = 1(/ li( +oo )) 1
2 ,
li( +oo )) = U(-oo, +oo) li).
(6.12)
L'opérateur d'évolution définit la matrice de diffusion S = U(-oo, +oo).
La transition de li) vers If) est décrite par l'élément de matrice :
(6.13)
La matrice de diffusion est unitaire (S + S = 1 ) pour assurer 1' interprétation de IS 1 i 1 2
comme la probabilité de la transition. En effet, la somme des probabilités de transition
de l'état i vers tous les autres états vaut 1, soit :
s+s = n =::} I s;is Jk = oi 1 =::} I s;ks ik = I 1s ikl
2 = i.
(6.14)
k
k
k
Dans l'analogie classique, la partie libre 'Ho du hamiltonien correspond à l'énergie
cinétique et le terme d'interaction <\1 1 à l'énergie potentielle. Le lagrangien est de la
forme 'Ho - <\1 1 . Au signe près, le hamiltonien d'interaction équivaut au lagrangien
d'interaction, soit en terme de densité lagrangienne :
(6.15)
À partir de l'expansion en série de Dyson, on peut relier la matrice S au lagrangien
d'interaction par :
(6.16)
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