"O
0
c
::J
0
('\"')
;a;
T"-f
"='
0
c
N
::i
@
"' "'
"'
~
~
..c
't:
Ol
0
'5
ï::::
"'
>c
a.
0
0
c
c
u
.Q
ü
::i
"='
2
o.
f
"'
'5
F!
-ci
0
c
::i
0
@
5.3. Le lagrangien du modèle standard
5.3.1 Fermions
Il existe douze fermions élémentaires : les six quarks d, u, s, c, b et t, les trois leptons
chargés e-, µ - et T - et les trois neutrinos qui leur sont associés V e , vµ et vr. Tous ces
fermions possèdent un spin ~. Chacun est dont représenté par un spineur de Lorentz et
le lagrangien des champs libres est une somme de lagrangiens de Dirac, indépendants
les uns des autres :
(5.19)
Les termes de masse ont été retirés et seront réintroduits par des couplages de Yukawa
au champ de Higgs.
5.3.2 Interactions de jauge non abéliennes
La construction formelle du lagrangien du modèle standard nécessite d'introduire la
théorie des groupes de Lie, ce que nous n'aborderons pas ici. Le principe de base est
identique à celui développé au paragraphe 5.1 , en utilisant des symétries plus complexes. À partir du lagrangien de Dirac des fermions libres on impose des symétries
locales au lagrangien.
L'ensemble des nombres eiB avec Bréel forme un groupe de Lie, le groupe U(l).
Dans le cas de QED, on parle d'invariance de jauge sous les transformations locales
du groupe U(l) ou de symétrie U(l) locale. La constante g représente l'intensité
du couplage entre le champ fermjonique et le champ du boson vecteur. La dérivée
covariante devrait en fait s'écrire:
(5.20)
où g est la constante de couplage et Q l' opérateur de charge. Dans le cas de l' électromagnétisme, c'est un opérateur diagonal dont les valeurs propres sont la charge
électrique du champ. L'opérateur de charge est le générateur du groupe U(l). La
constante de couplage est une grandeur sans dimension. On utilise également la grandeur:
g2
œ= -.
4JT
(5.21)
Pour l'électromagnétisme, a est la constante de structure fine qw vaut 1/137. De
manière générale, le groupe de Lie S U(n) est l'ensemble des matrices nxn complexes
de déterminant 1, dont un élément quelconque peut s'écrire :
(5.22)
où les générateurs du groupe, Qa, sont des matrices caractéristiques de la structure du
groupe. Ces générateurs sont au nombre de 3 pour S U(2) et 8 pour S U(3). En imposant une symétrie S U(2) au lagrangien, on parvient à décrire l'interaction faible (en
69
0
c
::J
0
('\"')
;a;
T"-f
"='
0
c
N
::i
@
"' "'
"'
~
~
..c
't:
Ol
0
'5
ï::::
"'
>c
a.
0
0
c
c
u
.Q
ü
::i
"='
2
o.
f
"'
'5
F!
-ci
0
c
::i
0
@
5.3. Le lagrangien du modèle standard
5.3.1 Fermions
Il existe douze fermions élémentaires : les six quarks d, u, s, c, b et t, les trois leptons
chargés e-, µ - et T - et les trois neutrinos qui leur sont associés V e , vµ et vr. Tous ces
fermions possèdent un spin ~. Chacun est dont représenté par un spineur de Lorentz et
le lagrangien des champs libres est une somme de lagrangiens de Dirac, indépendants
les uns des autres :
(5.19)
Les termes de masse ont été retirés et seront réintroduits par des couplages de Yukawa
au champ de Higgs.
5.3.2 Interactions de jauge non abéliennes
La construction formelle du lagrangien du modèle standard nécessite d'introduire la
théorie des groupes de Lie, ce que nous n'aborderons pas ici. Le principe de base est
identique à celui développé au paragraphe 5.1 , en utilisant des symétries plus complexes. À partir du lagrangien de Dirac des fermions libres on impose des symétries
locales au lagrangien.
L'ensemble des nombres eiB avec Bréel forme un groupe de Lie, le groupe U(l).
Dans le cas de QED, on parle d'invariance de jauge sous les transformations locales
du groupe U(l) ou de symétrie U(l) locale. La constante g représente l'intensité
du couplage entre le champ fermjonique et le champ du boson vecteur. La dérivée
covariante devrait en fait s'écrire:
(5.20)
où g est la constante de couplage et Q l' opérateur de charge. Dans le cas de l' électromagnétisme, c'est un opérateur diagonal dont les valeurs propres sont la charge
électrique du champ. L'opérateur de charge est le générateur du groupe U(l). La
constante de couplage est une grandeur sans dimension. On utilise également la grandeur:
g2
œ= -.
4JT
(5.21)
Pour l'électromagnétisme, a est la constante de structure fine qw vaut 1/137. De
manière générale, le groupe de Lie S U(n) est l'ensemble des matrices nxn complexes
de déterminant 1, dont un élément quelconque peut s'écrire :
(5.22)
où les générateurs du groupe, Qa, sont des matrices caractéristiques de la structure du
groupe. Ces générateurs sont au nombre de 3 pour S U(2) et 8 pour S U(3). En imposant une symétrie S U(2) au lagrangien, on parvient à décrire l'interaction faible (en
69