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Chapitre 5 • Champs en interaction
62
seuls les termes de couplage entre deux fermions et un boson et les couplages entre
trois ou quatre bosons satisfont ce critère.
5.1.2 Invariance de jauge
Considérons un champ fermionique (spineur de Lorentz), par exemple le champ de
l'électron. Le champ libre est décrit par le lagrangien de Dirac :
Lzibre = /fr( i"{ Ô µ - m )l/t.
(5.1)
En mécanique quantique, la fonction d'onde est toujours définie à une phase près. On
voudrait de la même manière que le champ quantifié obéisse à la même règle, c'està-dire que la transformation l/t(x) ~ l/t' = e+iBl/t(x) ne modifie pas le lagrangien. Le
champ /fr se transforme en !fr' = l/t1+YO = l/t+y 0 e-iB = /fre-iB et on vérifie sans problème
que:
L;ibre = lfre-i()(iyôµ - m)ei 8 1/t = /fr(iyôµ - m)l/t = Lubre·
(5.2)
Le lagrangien est invariant sous un changement de phase globale.
Le même changement de phase sera une transformation locale si la phase n'est
plus constante mais dépend des coordonnées, soit () = ()(x). Dans ce cas, l' exponentielle ne commute plus avec l'opérateur de dérivation :
et
L;ibre = ifÎ'(i"{ôµ - m)l/t'
= /fre-iB(x)(iyôµ - m)ei(J(x)l/t
= e-i8(x)/friyôµ (eiB(x)l/t)- mlfrl/t
= e-iB(x)/friyeiB(x) (ôµ + iôµB)l/t- mlfrl/t
= /fr (iyôµ - yôµB) l/t - mlfrl/t
L ;ibre = Lubre - /fr"{(ôµB)l/t.
(5.4)
Le lagrangien libre n'est plus invariant sous une transformation locale du champ.
Pour rétablir l'invariance, on va ajouter un nouveau champ dans la théorie. Ce champ
va venir compenser le terme supplémentaire -/fr(yµôµB)l/t dans la transformation du
lagrangien. Ceci s'opère en modifiant l'opérateur de dérivation Ôµ pour définir une
dérivée covariante Dµ telle que (Dµl/t)' = D~(ei
6
1/t) = ei 8 Dµl/t· On pose :
Dµ = ôµ - igAµ,
(5.5)