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CHAMPS
EN INTERACTION
Nous allons maintenant décrire la construction des lagrangiens d'interaction en physique des particules. Le théorème de Noether associe grandeur conservée et symétrie
du système. Historiquement, les théories physiques étaient construites en imposant la
conservation de grandeurs pertinentes, la symétrie apparaissant comme conséquence.
En théorie quantique des champs, l'approche choisie est inverse : à partir du lagrangien libre, on va imposer des symétries supplémentaires qui auront pour conséquence
de faire apparaître interactions et grandeurs conservées.
5.1 INTERACTION DE JAUGE
5.1.1 Lagrangien d'interaction
Le lagrangien libre ne contient que des termes couplant un champ à lui-même : <.p+ <.p,
Ôµ<.p+ ~<.p, lfyµ~t/J, lft/J, ôµA v ÔvAµ ... En introduisant les solutions des équations libres
pour les champs, on fait apparaître des produits d'opérateurs création et annihilation
de la f01me c; ck. Nous avons déjà rencontré ce type de terme dans le hamiltonien
libre au paragraphe 3.4.2. L'interaction entre plusieurs champs va se traduire par l'annihilation d'une ou plusieurs particules d'impulsion et de spin donnés et la création
de nouvelles particules d'impulsion et de spin différents. Ceci va se traduire par des
produits de plusieurs opérateurs de création et d'annihilation, et donc, par le produit
de plusieurs champs ou de leurs dérivées.
Pour décrire l'interaction électromagnétique d'un ferm ion chargé (par exemple
l'électron), il faut construire un lagrangien d'interaction, scalaire de Lorentz, qui
couple un champ spinoriel t/J (l'électron) et un champ vectoriel Aµ (le photon ou
champ électromagnétique). Le produit lfyµt/J forme un quadrivecteur (résultat admis
précédemment). Le produit scalaire Alfyµt/fAµ est donc un scalaire de Lorentz. C'est
le lagrangien d'interaction le plus simple que l'on puisse construire. Nous allons discuter au paragraphe suivant comment un tel terme peut apparaître naturellement en
imposant une symétrie particulière au lagrangien.
En général, les termes du lagrangien sont constitués d'un produit de champs et de
leurs dérivées, n, et d'une constante numérique de couplage g: L = gll. Les champs
sont des objets dimensionnés (voir exercice 5.1). Des arguments théoriques liés à la
renormalisation, qui dépassent de très loin le cadre de cet ouvrage, interdisent que
la constante de couplage ait pour dimension une puissance négative de l'énergie. En
conséquence, la dimension totale du produit de champs ne dépasse pas la dimension
de la densité lagrangienne. Cette condition limite les termes trop complexes. En effet,
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Nous allons maintenant décrire la construction des lagrangiens d'interaction en physique des particules. Le théorème de Noether associe grandeur conservée et symétrie
du système. Historiquement, les théories physiques étaient construites en imposant la
conservation de grandeurs pertinentes, la symétrie apparaissant comme conséquence.
En théorie quantique des champs, l'approche choisie est inverse : à partir du lagrangien libre, on va imposer des symétries supplémentaires qui auront pour conséquence
de faire apparaître interactions et grandeurs conservées.
5.1 INTERACTION DE JAUGE
5.1.1 Lagrangien d'interaction
Le lagrangien libre ne contient que des termes couplant un champ à lui-même : <.p+ <.p,
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pour les champs, on fait apparaître des produits d'opérateurs création et annihilation
de la f01me c; ck. Nous avons déjà rencontré ce type de terme dans le hamiltonien
libre au paragraphe 3.4.2. L'interaction entre plusieurs champs va se traduire par l'annihilation d'une ou plusieurs particules d'impulsion et de spin donnés et la création
de nouvelles particules d'impulsion et de spin différents. Ceci va se traduire par des
produits de plusieurs opérateurs de création et d'annihilation, et donc, par le produit
de plusieurs champs ou de leurs dérivées.
Pour décrire l'interaction électromagnétique d'un ferm ion chargé (par exemple
l'électron), il faut construire un lagrangien d'interaction, scalaire de Lorentz, qui
couple un champ spinoriel t/J (l'électron) et un champ vectoriel Aµ (le photon ou
champ électromagnétique). Le produit lfyµt/J forme un quadrivecteur (résultat admis
précédemment). Le produit scalaire Alfyµt/fAµ est donc un scalaire de Lorentz. C'est
le lagrangien d'interaction le plus simple que l'on puisse construire. Nous allons discuter au paragraphe suivant comment un tel terme peut apparaître naturellement en
imposant une symétrie particulière au lagrangien.
En général, les termes du lagrangien sont constitués d'un produit de champs et de
leurs dérivées, n, et d'une constante numérique de couplage g: L = gll. Les champs
sont des objets dimensionnés (voir exercice 5.1). Des arguments théoriques liés à la
renormalisation, qui dépassent de très loin le cadre de cet ouvrage, interdisent que
la constante de couplage ait pour dimension une puissance négative de l'énergie. En
conséquence, la dimension totale du produit de champs ne dépasse pas la dimension
de la densité lagrangienne. Cette condition limite les termes trop complexes. En effet,
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