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0
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::J
0
(\"')
,.....
Chapitre 4 • Champs classiques et quantiques libres
On peut donner ici une idée de la structure de la démonstration du théorème
de connexion spin-statistique qui relie le spin entier ou demi-entier à une fonction
d'onde symétrique ou antisymétrique. Le spin apparaît comme un nombre quantique
associé à l'invariance de Lorentz et impose la nature de la représentation mathématique du champ (champs scalaire, spinoriel, vectoriel, etc.). La quantification de
chaque champ fait apparaître les opérateurs création et annihilation ainsi que les opérateurs de champ. Le point central de la démonstration montre que la quantification
d'un champ de spin entier conduit à des relations de commutation entre opérateurs
alors que celle d'un champ de spin demi-entier donne des relations d'anticommutation. Enfin, on a vu au chapitre 3 que le type de relation de commutation était
directement lié à la symétrie ou à l'antisymétrie de la fonction d'onde. En mécanique
quantique, le spin est introduit artificiellement pour expliquer certains résultats expérimentaux, mais c'est la relativité restreinte et l'invariance de Lorentz qui justifient
son existence. Le lien entre le spin (propriété d'origine relativiste) et la symétrie de
la fonction d'onde (liée à un postulat de la mécanique quantique) ne peut donc s'expliquer que dans le cadre d'un formalisme qui unifie ces deux théories, la théorie
quantique des champs.
Exercices
Dl Équation d'Euler-Lagrange
En adaptant la démonstration du chapitre 2, démontrez l'équation d'Euler-Lagrange
pour un champ scalaire réel cp(x) :
aL
( aL )
ocp - oµ o(oµcp) = 0 ·
~
16 Lagrangien de Klein-Gordon
@
.:c
Le lagrangien d'un champ scalaire réel cp(x) est donné par :
Ol
ï::::
>1
B
L = 2 ( oµcp0'1cp - m2cp2).
60
a) Montrez que a<~~'P) = av cp.
b) Retrouvez l'équation de Klein-Gordon à partir de l'équation d'Euler-Lagrange
appliquée à ce lagrangien.
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Chapitre 4 • Champs classiques et quantiques libres
On peut donner ici une idée de la structure de la démonstration du théorème
de connexion spin-statistique qui relie le spin entier ou demi-entier à une fonction
d'onde symétrique ou antisymétrique. Le spin apparaît comme un nombre quantique
associé à l'invariance de Lorentz et impose la nature de la représentation mathématique du champ (champs scalaire, spinoriel, vectoriel, etc.). La quantification de
chaque champ fait apparaître les opérateurs création et annihilation ainsi que les opérateurs de champ. Le point central de la démonstration montre que la quantification
d'un champ de spin entier conduit à des relations de commutation entre opérateurs
alors que celle d'un champ de spin demi-entier donne des relations d'anticommutation. Enfin, on a vu au chapitre 3 que le type de relation de commutation était
directement lié à la symétrie ou à l'antisymétrie de la fonction d'onde. En mécanique
quantique, le spin est introduit artificiellement pour expliquer certains résultats expérimentaux, mais c'est la relativité restreinte et l'invariance de Lorentz qui justifient
son existence. Le lien entre le spin (propriété d'origine relativiste) et la symétrie de
la fonction d'onde (liée à un postulat de la mécanique quantique) ne peut donc s'expliquer que dans le cadre d'un formalisme qui unifie ces deux théories, la théorie
quantique des champs.
Exercices
Dl Équation d'Euler-Lagrange
En adaptant la démonstration du chapitre 2, démontrez l'équation d'Euler-Lagrange
pour un champ scalaire réel cp(x) :
aL
( aL )
ocp - oµ o(oµcp) = 0 ·
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16 Lagrangien de Klein-Gordon
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Le lagrangien d'un champ scalaire réel cp(x) est donné par :
Ol
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L = 2 ( oµcp0'1cp - m2cp2).
60
a) Montrez que a<~~'P) = av cp.
b) Retrouvez l'équation de Klein-Gordon à partir de l'équation d'Euler-Lagrange
appliquée à ce lagrangien.