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4.3. Quantification du champ
représentation d'un système quantique à plusieurs paiticules, où chaque particule est
décrite par une fonction d'onde, à un unique objet, le champ quantique, qui permet la
description de toutes les particules et antiparticules d' un même type. Par la suite il y
aura donc un unique champ de l'électron, un unique champ du photon, . . .
La quantification du champ vectoriel est similaire à celle du champ scalaire. En
effet, on montre que les équations d'évolution du champ vectoriel sont équivalentes
à trois équations de Klein-Gordon indépendantes. Les opérateurs création et annihilation vérifient les mêmes relations de commutation.
4.3.2 Champ spinoriel
La quantification du champ spinoriel s'opère de manière similaire à partir des solutions de l'équation de Dirac. Un champ spinoriel est caractérisé par sa masse et par la
projection de son spin selon un axe arbitraire. On choisit pour ce dernier la direction
de l' impulsion, ce qui définit l'hélicité de la particule. Pour un fermion massif de
spin 4 il existe deux états d' hélicité. Après quantification, le champ spinoriel libre,
solution de l'équation de Dirac, est :
l
l
hélicité
tft(x) = - - 3 fd
3
k Y2Wk .L. Uk,s bk,s e-ikx + Vk,s dt,s eikX,
(2n)2
2wk s = l 2 ~~
~~
' spineur op.
spineur op.
(4.36)
hélicité
-
1 f 3 1 ~ - + ikx -
- ikx
tft(x) = - - 3
d k _ ~ LJ uk,s bk,s e + vk,s dk,s e ,
(2n) ï
v2wk s=I 2 ~~
~~
' spineur op.
spineur op.
(4.37)
où les termes uk,s et vk,s sont des spineurs de base :
Uk,s = --;::~=+=m== (X s ) et Vk s = "1- m ( O ) ,
ywk + m 0
'
ywk - m -xs
(4.38)
avec
(4.39)
Les termes bk s' dk s' bk+ et dk+ sont les opérateurs de création et d' annihilation
'
'
,s
,s
pour une particule (b et b+) ou une antiparticule (d et d+) d'impulsion k et d ' hélicité
s. On montre que ces opérateurs vérifient les relations d ' anticommutation propres
aux fermions :
(4.40)
(4.41)
59