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Chapitre 4 • Champs classiques et quantiques libres
58
donc un opérateur (jJ :
"( )- _l_fd3k 1 (" -ikx+"+ ikx)
3
_ ~. ake
ak e
.
(2n)2
v2wk ~ '-v--'
(1)
(2)
(4.33)
De plus, les crochets de Poisson deviennent des commutateurs, suivant les relations
de commutation canoniques :
[rp(x, t), rp(1', t)] = [fr(x, t), fr(1', t)] = o,
[(j;(x, t), fr(1', t)] = ù5(x - x').
(4.34)
(4.35)
À partir des ces relations, on montre que les opérateurs âk et â; doivent satisfaire aux
relations de commutation des bosons introduites au chapitre 3 et correspondent donc
aux opérateurs de création et d'annihilation. On reconnaît alors dans (jJ l'opérateur de
champ, dont on a montré qu'il avait des propriétés analogues à la fonction d'onde
et pouvait s'interpréter comme une densité volumique de particule. Par la suite, on
notera simplement le champ quantifié
~
(1) la destruction d'une particule d'impulsion k, qui évolue vers t > 0 ou la création
d'une antiparticule évoluant vers t < 0,
~
(2) la création d'une particule d'impulsion k, qui évolue vers t < 0 ou la destruction
d'une antiparticule évoluant vers t > O.
Le champ et antiparticule sont le même objet physique. Ce type de champ ne peut décrire que
des champs sans charge. En général ce n'est pas le cas et l'opérateur de champ
l'antiparticule alors que
L'interprétation en terme de particule et d'antiparticule permet de donner un sens
physique aux solutions d'énergie négative : l'énergie est toujours positive mais le
temps est inversé (on change l'attribution du signe - dans -wkt de Wk à t) ce qui correspond à une particule qui remonte le temps ou encore une antiparticule qui parcourt
le temps en sens normal. L'opérateur de champ est une généralisation de la fonction
d'onde (voir chapitre 3) qui permet de résoudre le problème d'interprétation de la
fonction d'onde comme amplitude de probabilité de présence pour un système où
le nombre de particules varie. Le concept de champ quantifié permet donc de traiter
des systèmes à la fois quantiques et relativistes en unifiant les concepts de fonction
d'onde et de champ classique. Les problèmes posés par la mécanique quantique relativiste sont ainsi résolus. L'étude de l'évolution spatio-temporelle des champs quantiques forme la théorie quantique des champs. Il faut noter que l'on est passé d' une
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donc un opérateur (jJ :
"( )- _l_fd3k 1 (" -ikx+"+ ikx)
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De plus, les crochets de Poisson deviennent des commutateurs, suivant les relations
de commutation canoniques :
[rp(x, t), rp(1', t)] = [fr(x, t), fr(1', t)] = o,
[(j;(x, t), fr(1', t)] = ù5(x - x').
(4.34)
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À partir des ces relations, on montre que les opérateurs âk et â; doivent satisfaire aux
relations de commutation des bosons introduites au chapitre 3 et correspondent donc
aux opérateurs de création et d'annihilation. On reconnaît alors dans (jJ l'opérateur de
champ, dont on a montré qu'il avait des propriétés analogues à la fonction d'onde
et pouvait s'interpréter comme une densité volumique de particule. Par la suite, on
notera simplement le champ quantifié
~
(1) la destruction d'une particule d'impulsion k, qui évolue vers t > 0 ou la création
d'une antiparticule évoluant vers t < 0,
~
(2) la création d'une particule d'impulsion k, qui évolue vers t < 0 ou la destruction
d'une antiparticule évoluant vers t > O.
Le champ et antiparticule sont le même objet physique. Ce type de champ ne peut décrire que
des champs sans charge. En général ce n'est pas le cas et l'opérateur de champ
l'antiparticule alors que
L'interprétation en terme de particule et d'antiparticule permet de donner un sens
physique aux solutions d'énergie négative : l'énergie est toujours positive mais le
temps est inversé (on change l'attribution du signe - dans -wkt de Wk à t) ce qui correspond à une particule qui remonte le temps ou encore une antiparticule qui parcourt
le temps en sens normal. L'opérateur de champ est une généralisation de la fonction
d'onde (voir chapitre 3) qui permet de résoudre le problème d'interprétation de la
fonction d'onde comme amplitude de probabilité de présence pour un système où
le nombre de particules varie. Le concept de champ quantifié permet donc de traiter
des systèmes à la fois quantiques et relativistes en unifiant les concepts de fonction
d'onde et de champ classique. Les problèmes posés par la mécanique quantique relativiste sont ainsi résolus. L'étude de l'évolution spatio-temporelle des champs quantiques forme la théorie quantique des champs. Il faut noter que l'on est passé d' une