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4.3. Quantification du champ
Tableau 4.2- Champs et lagrangiens libres pour les particules du modèle standard.
Champ
Spin
Particule(s)
Lagrangien
scalaire cp(x)
0
boson de Higgs
Lagrangien de Klein-Gordon
LKG = ~ (ôµcpô"cp - m
2 cp
2 )
spineur if;(x)
1
quarks et leptons
Lagrangien de Dirac
2
Loirac = ljt(iyµ8µ - m)if;
Lagrangien de Maxwell
bosons de jauge
.L
- 1 F Fµv
vecteur N(x)
1
Maxwell - - 4 µv
y , Z, W ±, gluons
f µv = Ôµ A v - ÔvAµ
(photon uniquement)
4.3 QUANTIFICATION DU CHAMP
4.3. 1 Champ scalaire
L'équation de Klein-Gordon s' applique au champ scalaire libre. Pour un tel champ,
on cherche des solutions en ondes planes de la forme quadrivecteurs. En injectant ceci dans l'équation de Klein-Gordon, il vient :
BµiY" 2
[ (- iko)
2 - (ik)
2 + m
2 ] e - ikx = O
==> ko = ± ~k 2 + m 2 = ±Wk·
-+
Pour une impulsion k, il existe deux solutions possibles :
• une solution d' énergie positive E = W k :
(4.30)
(4.31)
L'existence de ces deux solutions est liée à la nature quadratique de l' équation reliant énergie et impulsion en relativité restreinte (E 2 = m 2 + p 2 ). A priori, les solutions d'énergie négative n' ont pas d' interprétation physique. C' est la quantification
du champ qui va résoudre ce problème.
La solution la plus générale de l' équation de Klein-Gordon classique, développée sur
une base d'ondes planes est de la forme :
(4.32)
où les termes de normalisation ne seront pas discutés ici. Les coefficients ak et az sont
des nombres complexes conjugués. Le passage d'un champ classique à un champ
quantique est une procédure complexe qui ne sera pas justifi ée ici. Elle consiste à
remplacer les coefficients ak et a~ par des opérateurs ak et a;. La fonction