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Chapitre 4 • Champs classiques et quantiques libres
56
--+
--+
L'équation d'Euler-Lagrange s'écrit alors en fonction des champs E et B:
Ç::}
(Ji Ex+ l)iEy + fhEz = 0
ooEx - 02Bz + 03By = 0
ooEy + 01Bz - 03Bx = 0
ooEz - 01By + 02Bx = 0
oEx oEy oEz
-
+ -
+ - = 0
ox
oy
oz
oEx oBy oBz
- - + - - - = 0
ot
oz
oy
oEy oBz oBx
- - + - - - = 0
ot
fJx
fJz
fJEz fJBx fJBy
- -
+ -
- - = 0
fJt
fJy
fJx
V.E =0
{
--+ --+
o Fµv = 0 Ç::}
µ
--+
--+
a.rt
V/\B=fr.
(4.29)
On retrouve les équations de Maxwell sans source (J = 0, p = 0), qui sont bien les
équations d' évolution du champ électromagnétique libre. Dans ce formalisme de la
théorie (classique) des champs, on peut reconstruire toute la théorie de l'électromagnétisme. Le champ vectoriel associé à l'électromagnétisme (i.e. le champ du photon)
est donné par le quadri-potentiel Aµ. Il est remarquable que ce potentiel est défini à
une dérivée près qui correspond à un choix de jauge arbitraire. La transformation de
Aµ en A~ = Aµ + fJµf n'affecte ni les véritables observables que sont les champs
électrique et magnétique, ni le lagrangien libre. Le lagrangien de Maxwell ne fait
pas apparaître de terme de masse, contrairement aux lagrangiens de Klein-Gordon et
de Dirac. Un terme de masse pour le photon aurait la forme ! M 2 AµAµ, mais un tel
terme n'est pas invariant sous le choix de jauge, ce qui pose problème. Cet aspect
sera discuté plus en détails dans le chapitre suivant.
Les lagrangiens libres pour les champs du modèle standard sont résumés dans le
tableau 4.2.