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5.1. Interaction de jauge
où Aµ est un champ vectoriel et g une constante. La condition de commutation avec
une phase 1oca1e eiB(x) va fixer la loi de transformation du champ vectoriel :
(Dµl/f)' = (Bµ - igA~)eiBl/I = eiB(Bµ + iBµB - igA~)l/J.
(5.6)
En imposant (Dµl/f)' = ei 8 Dµl/f, il vient :
On reconnaît une transformation de jauge pour un champ vectoriel, c'est-à-dire que
la loi de transformation du champ Aµ laisse invariante le lagrangien de Maxwell libre.
Ainsi le lagrangien total :
(5.8)
est invariant sous les transformations simultanées del/Jet Aµ- Pour maintenir l'invariance du lagrangien lorsqu'on applique un déphasage local au champ fermionique,
il faut introduire un champ vectoriel supplémentaire dans la théorie. Le terme supplémentaire présent dans le lagrangien est un terme d'interaction entre le champ vectoriel et Je champ fermionique. Ce terme d'interaction a 1a forme attendue lfrr'l/IAµ5.1.3 Électrodynamique quantique
On a vu au chapitre 4 qu'un tel champ vectoriel pouvait décrire l'électromagnétisme.
Le lagrangien obtenu en imposant l'invariance sous un déphasage local est le lagrangien de l'électrodynamique quantique ou QED. Le champ vectoriel Aµ est Je champ
de jauge du photon.
LQED = /f(iyµ Dµ - m)l/f - ~FµvFµv
= /f(ir'Bµ - m)l/f +
glfrr'l/IAµ
- ~F pµv
4 µv
.
(5.9)
~
champ if; libre
couplage entre t/t et A 1 , champ A 1 , libre
Le terme glfr"/'l/IAµ traduit l'interaction entre les fermions chargés et le photon, c'està-dire l'interaction électromagnétique élémentaire. Pour simplifier la suite on suppose que le champ fermionique est celui de l'électron (et du positron). Le champ If
fait intervenir deux types opérateurs b+ et d. De même, l/J contient b et d+. Enfin, on
montre que le champ vectoriel contient aussi des opérateurs de création (a+) et d'annihilation (a). Comme le photon ne porte pas de charge électrique, il est sa propre antiparticule. En développant le terme d'interaction en fonction des champs, i1 apparaît
des produits d'opérateurs création et annihilation de la forme (b+ + d)(a + a+)(b + d+),
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où Aµ est un champ vectoriel et g une constante. La condition de commutation avec
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(Dµl/f)' = (Bµ - igA~)eiBl/I = eiB(Bµ + iBµB - igA~)l/J.
(5.6)
En imposant (Dµl/f)' = ei 8 Dµl/f, il vient :
On reconnaît une transformation de jauge pour un champ vectoriel, c'est-à-dire que
la loi de transformation du champ Aµ laisse invariante le lagrangien de Maxwell libre.
Ainsi le lagrangien total :
(5.8)
est invariant sous les transformations simultanées del/Jet Aµ- Pour maintenir l'invariance du lagrangien lorsqu'on applique un déphasage local au champ fermionique,
il faut introduire un champ vectoriel supplémentaire dans la théorie. Le terme supplémentaire présent dans le lagrangien est un terme d'interaction entre le champ vectoriel et Je champ fermionique. Ce terme d'interaction a 1a forme attendue lfrr'l/IAµ5.1.3 Électrodynamique quantique
On a vu au chapitre 4 qu'un tel champ vectoriel pouvait décrire l'électromagnétisme.
Le lagrangien obtenu en imposant l'invariance sous un déphasage local est le lagrangien de l'électrodynamique quantique ou QED. Le champ vectoriel Aµ est Je champ
de jauge du photon.
LQED = /f(iyµ Dµ - m)l/f - ~FµvFµv
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(5.9)
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Le terme glfr"/'l/IAµ traduit l'interaction entre les fermions chargés et le photon, c'està-dire l'interaction électromagnétique élémentaire. Pour simplifier la suite on suppose que le champ fermionique est celui de l'électron (et du positron). Le champ If
fait intervenir deux types opérateurs b+ et d. De même, l/J contient b et d+. Enfin, on
montre que le champ vectoriel contient aussi des opérateurs de création (a+) et d'annihilation (a). Comme le photon ne porte pas de charge électrique, il est sa propre antiparticule. En développant le terme d'interaction en fonction des champs, i1 apparaît
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