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Chapitre 4 • Champs classiques et quantiques libres
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L'expression des coordonnées des spineurs dépend du cho.ix d'une base. De même,
l'expression des matrices de Dirac dépend de ce cho.ix. La défin.ition (4.7) constitue
la représentation de Weyl des spineurs. Les expressions des matrices y sont données
dans la même représentation. On définit également une matrice y5 par :
(4.16)
Les opérateurs ~ ( 1 ± y 5 ) sont des opérateurs de projection des spineurs de Lorentz
sur les états de chiralité gauche et droite :
(4.17)
Ces opérateurs interviennent dans la théorie des interactions faibles qui se couplent
différemment aux champs gauche et droit.
À partir de ces deux scalaires de Lorentz, le lagrangien le plus simple pour un
champ libre (ne faisant apparaître que des termes t:x l/f 2 ) est le lagrangien de Dirac:
Lvirac = /il(x) (i'Y18µ - m) l/J(x) .
(4.18)
L'équation du mouvement est alors l'équation de Dirac:
(i'Y18µ - m) l/f(x) = O.
(4.19)
Pour simplifier les formules, on note parfois tfz la matrice 4 x 4, aµyµ = y/1aµ =
~µ aµ yµ. En particulier, l'opérateur /) est l'opérateur yµ 8 w Ainsi, le lagrangien de
Dirac s'écrit Lmrac = /il(ii/J - m)l/J.
4.2.4 Équation du champ vectoriel
Le lagrangien du champ vectoriel libre Aµ est le lagrangien de Maxwell qui s'écrit :
où F µv est le tenseur antisymétrique :
{
p Ov = -Fov,
Fµv = oµAv - 8vAµ et Fµv = pµO = -Fµo ,
F 11 - F· ·
- /}"
L'équation d'Euler-Lagrange donne alors pour les équations du mouvement :
(4.20)
(4.21)
(4.22)