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4.2. Équations relativistes
C'est l'équation de Klein-Gordon. Pour 1' instant la nature de l'objet 'P qui apparaît
dans cette éq uation n'est pas précisée. Cela ne pourra être a priori ni une fonction
d'onde comme dans l'équation de Schrodinger, ni un champ au sens classique du
terme (onde électromagnétique). Il s'agit en fait d'un champ quantifié. Ce champ
est l'équation relativiste du champ scalaire libre. Elle dérive du lagrangien de KleinGordon, par les équations d'Euler-Lagrange :
1
+ !lU
2
2
LKo = Ï(Ôµ'P u
Ce lagrangien ne fait apparaître le champs que dans des termes du second degré.
Tout terme d'ordre supérieur traduirait une interaction. Le terme de masse dans ce
lagrangien peut s'interpréter classiquement comme une énergie potentielle. L'état du
vide, c'est-à-dire l'état du champ en l'absence de particule, est donné par le minimum
du potentiel, soit pour
Le lagrangien est une grandeur scalaire, invariante de Lorentz. Un tel scalaire peut
être obtenu par le produit scalaire de deux quadrivecteurs mais pas par le produit de
deux spineurs !ft+!/t. En revanche on peut introduire une matrice y 0 et imposer que
(4.11)
soit un scalaire de Lorentz. On montre alors que
0 =( 0 ll 2)
'Y
2 0 .
( 4.12)
Il existe une deuxième construction qui permet de construire un scalaire à partir de
deux spineurs :
(4.13)
Les yµ sont les quatre matrices de Dirac qui sont construites afin de former un quadrivecteur à partir de deux spineurs. On montre que lfryµ!/t forment les composantes
d' un quadrivecteur.
Ces quatre matrices forment un quadrivecteur de matrices 4 x 4 : (y 0 , 1). Les trois
matrices y s'écrivent:
/ = ( 0 O"i)'
-(Ti 0
(4.14)
où les O"i sont les matrices de Pauli :
(
0 -i )
CT2 = i 0 '
(4.15)
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d'onde comme dans l'équation de Schrodinger, ni un champ au sens classique du
terme (onde électromagnétique). Il s'agit en fait d'un champ quantifié. Ce champ
est l'équation relativiste du champ scalaire libre. Elle dérive du lagrangien de KleinGordon, par les équations d'Euler-Lagrange :
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Ce lagrangien ne fait apparaître le champs que dans des termes du second degré.
Tout terme d'ordre supérieur traduirait une interaction. Le terme de masse dans ce
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Le lagrangien est une grandeur scalaire, invariante de Lorentz. Un tel scalaire peut
être obtenu par le produit scalaire de deux quadrivecteurs mais pas par le produit de
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( 4.12)
Il existe une deuxième construction qui permet de construire un scalaire à partir de
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(4.13)
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d' un quadrivecteur.
Ces quatre matrices forment un quadrivecteur de matrices 4 x 4 : (y 0 , 1). Les trois
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où les O"i sont les matrices de Pauli :
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