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4.2. Équations relativistes
fixer une origine pour 1es coordonnées d'espace-temps, 1es directions dans l'espace
(isotropie de 1 'espace), les vitesses (principe de relativité) du fait de 1' invariance de
Lorentz-Poincaré.
4.2 ÉQUATIONS RELATIVISTES
4.2.1 Spin et représentations
L'invariance sous les transformations du groupe de Lorentz-Poincaré est associée à
deux invariants. Le premier est la masse invariante, norme du quadrivecteur énergieimpulsion et Je second est le spin. Masse et spi n sont les deux nombres quantiques
intrinsèques à toute particule, associés à l'i nvariance de Lorentz. La théorie des
groupes, en particulier du groupe de Lorentz-Poincaré, impose un lien entre le spin
du champ et la structure mathématique (le nombre de coordonnées) utilisée pour le
représenter. Cette structure conditionne la transformation du champ sous une transformation de Lorentz. On peut ainsi montrer que :
• Le spin 0 correspond à un champ scalaire, c'est-à-dire que cp(x) est un objet à
une seule composante complexe (c'est-à-dire, avant quantification, un nombre). La
transformation d'un champ scalaire par une transformation de Lorentz est triviale :
cp' (x') = cp(x).
• Le spin 1 c01Tespond à un objet à quatre composantes complexes formant un quadrivecteur, qui par définition se transforme comme les coordonnées. On parle alors
de champ vectoriel.
• Le spin ! correspond à un objet à deux composantes complexes appelé spineur
(de Weyl). L'ensemble des spineurs se divise en deux familles invariantes sous les
transfomations du groupe de Lorentz-Poincaré. Ceci signifie que le transfomé d'un
spineur de la première famille est un spineur de la première famille et de même
pour la seconde. Nous ne détaillerons pas plus la transformation des spineurs sous
les transformations d'espace-temps et les résultats ultérieurs seront admis sans démonstration. Les deux types de spi neurs sont symétriques l'un de ]'autre sous 1a
transformation de parité (inversion des coordonnées d'espace, x ~ -X). On parle
de deux états de chiralité gauche (l/!i) et droite (l/!R). On peut faire ici l'analogie
avec certaines molécules qui, bien qu'ayant la même structure, ne peuvent se déduire l'une del' autre par rotation mais uniquement par symétrie planaire et peuvent
présenter des propriétés chimiques différentes.
Les interactions électromagnétique et forte se couplent indifféremment avec les
champs gauche et droit. On utilisera généralement pour représenter un champ de
spin ~ un objet à quatre composantes, le spineur de Lorentz ou champ spinoriel :
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(isotropie de 1 'espace), les vitesses (principe de relativité) du fait de 1' invariance de
Lorentz-Poincaré.
4.2 ÉQUATIONS RELATIVISTES
4.2.1 Spin et représentations
L'invariance sous les transformations du groupe de Lorentz-Poincaré est associée à
deux invariants. Le premier est la masse invariante, norme du quadrivecteur énergieimpulsion et Je second est le spin. Masse et spi n sont les deux nombres quantiques
intrinsèques à toute particule, associés à l'i nvariance de Lorentz. La théorie des
groupes, en particulier du groupe de Lorentz-Poincaré, impose un lien entre le spin
du champ et la structure mathématique (le nombre de coordonnées) utilisée pour le
représenter. Cette structure conditionne la transformation du champ sous une transformation de Lorentz. On peut ainsi montrer que :
• Le spin 0 correspond à un champ scalaire, c'est-à-dire que cp(x) est un objet à
une seule composante complexe (c'est-à-dire, avant quantification, un nombre). La
transformation d'un champ scalaire par une transformation de Lorentz est triviale :
cp' (x') = cp(x).
• Le spin 1 c01Tespond à un objet à quatre composantes complexes formant un quadrivecteur, qui par définition se transforme comme les coordonnées. On parle alors
de champ vectoriel.
• Le spin ! correspond à un objet à deux composantes complexes appelé spineur
(de Weyl). L'ensemble des spineurs se divise en deux familles invariantes sous les
transfomations du groupe de Lorentz-Poincaré. Ceci signifie que le transfomé d'un
spineur de la première famille est un spineur de la première famille et de même
pour la seconde. Nous ne détaillerons pas plus la transformation des spineurs sous
les transformations d'espace-temps et les résultats ultérieurs seront admis sans démonstration. Les deux types de spi neurs sont symétriques l'un de ]'autre sous 1a
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de deux états de chiralité gauche (l/!i) et droite (l/!R). On peut faire ici l'analogie
avec certaines molécules qui, bien qu'ayant la même structure, ne peuvent se déduire l'une del' autre par rotation mais uniquement par symétrie planaire et peuvent
présenter des propriétés chimiques différentes.
Les interactions électromagnétique et forte se couplent indifféremment avec les
champs gauche et droit. On utilisera généralement pour représenter un champ de
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