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Chapitre 4 • Champs classiques et quantiques libres
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de ses dérivées qui sont eux-mêmes des fonctions de l'espace-temps. Les mathématiques fournissent cependant le concept de dérivée fonctionnelle
0
~~) et de différentie11e fonctionnelle 8.l(
~~) ô
fonctionnelle F(
- = 2l
L' équation d'Euler-Lagrange décrivant l' évolution spatio-temporelle du champ alors (voir exercice 4.1) :
ô.[,
( ô.[, )
Ô (4.4)
Comme pour les coordonnées usuelles, on peut utiliser le moment conjugué :
n(x) = 8
8 L et généraliser les relations du paragraphe 2.1.2. En particulier les croo'P
chets de Poisson entre deux champs évalués au même temps x 0
t deviennent :
{
(4.5)
{
De même, on généralise le théorème de Noether en théorie des champs. Ce théorème
relie grandeur physique conservée et invariance du lagrangien sous une symétrie.
Les transformations de Lorentz ainsi que les rotations et les translations de temps et
d' espace forment le groupe de Lorentz-Poincaré. Les lagrangiens relativistes qui seront pertinents en physique des particules doivent au minumum satisfaire l'invariance
sous ces transformations. Le tableau 4.1 donne les grandeurs conservées associées
aux transformations continues d'espace-temps.
Tableau 4.1 - Grandeurs conservées associées aux symétries d'espace-temps
Grandeur conservée
Transformations invariantes
Impulsion
Translations d'espace
Énergie du système
Translations du temps
Moment cinétique
Rotations d'espace
M asse et spin
Transformations de Lorentz
Ainsi, un lagrangien invariant sous les transformations du groupe de LorentzPoincaré satisfait toutes les propriétés de conservation usuelles (quadri-impulsion,
moment cinétique, masse et spin). De plus, ]'invariance sous une c1asse de transformations impose l' impossibilité de fixer une origine absolue. Il est donc impossible de
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de ses dérivées qui sont eux-mêmes des fonctions de l'espace-temps. Les mathématiques fournissent cependant le concept de dérivée fonctionnelle
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~~) et de différentie11e fonctionnelle 8.l(
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L' équation d'Euler-Lagrange décrivant l' évolution spatio-temporelle du champ alors (voir exercice 4.1) :
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Comme pour les coordonnées usuelles, on peut utiliser le moment conjugué :
n(x) = 8
8 L et généraliser les relations du paragraphe 2.1.2. En particulier les croo'P
chets de Poisson entre deux champs évalués au même temps x 0
t deviennent :
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De même, on généralise le théorème de Noether en théorie des champs. Ce théorème
relie grandeur physique conservée et invariance du lagrangien sous une symétrie.
Les transformations de Lorentz ainsi que les rotations et les translations de temps et
d' espace forment le groupe de Lorentz-Poincaré. Les lagrangiens relativistes qui seront pertinents en physique des particules doivent au minumum satisfaire l'invariance
sous ces transformations. Le tableau 4.1 donne les grandeurs conservées associées
aux transformations continues d'espace-temps.
Tableau 4.1 - Grandeurs conservées associées aux symétries d'espace-temps
Grandeur conservée
Transformations invariantes
Impulsion
Translations d'espace
Énergie du système
Translations du temps
Moment cinétique
Rotations d'espace
M asse et spin
Transformations de Lorentz
Ainsi, un lagrangien invariant sous les transformations du groupe de LorentzPoincaré satisfait toutes les propriétés de conservation usuelles (quadri-impulsion,
moment cinétique, masse et spin). De plus, ]'invariance sous une c1asse de transformations impose l' impossibilité de fixer une origine absolue. Il est donc impossible de