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0
c
::J
0
M
0
N
@
.µ
.c:
Ol
ï:::
>a.
0
u
Chapitre 3 • Seconde quantification
4 6
Pour un opérateur unaire if (X) quelconque, on peut définir un opérateur fJ :
fJ = J ip+ c X'J
m,n.
= I hmna~an .
1n,n
De même, pour un opérateur binaire, Û(x 1 , 1 2 ):
û = J ip+(x1)l.Jl+(x2)û(x1, x2)l.Jl(x2)l.Jl(x1)dx1dx2
= 2: Uij,kzat a j akat.
i,j,k,l
(3.54)
(3.55)
On retrouve la même forme d'expression que pour le calcul de la valeur moyenne
d'un opérateur sur les fonctions d'onde. L'opérateur
1
/ / va présenter des propriétés
analogues à celles de la fonction d'onde. Le passage de la mécanique classique à la
mécanique quantique se fait en transformant les observables physiques d'une fonction de l'espace en un opérateur agissant sur une fonction d'onde. Ici, l'étape suivante de complexification de la théorie consiste à remplacer la fonction d'onde par
un opérateur de champ. C'est pourquoi on parle de seconde quantification. La théorie
qui décrit l'évolution spatio-temporelle et l'interaction entre champs quantifiés est la
théorie quantique des champs. Ce n'est que dans ce formalisme que l'on peut décrire
des objets quantiques relativistes.
Ill Opérateurs création et annihilation
Soit deux bases orthonormées {cpd et {
Montrez que les opérateurs :
vérifient les relations de commutation des opérateurs création et annihilation.
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Chapitre 3 • Seconde quantification
4 6
Pour un opérateur unaire if (X) quelconque, on peut définir un opérateur fJ :
fJ = J ip+ c X'J
m,n.
= I hmna~an .
1n,n
De même, pour un opérateur binaire, Û(x 1 , 1 2 ):
û = J ip+(x1)l.Jl+(x2)û(x1, x2)l.Jl(x2)l.Jl(x1)dx1dx2
= 2: Uij,kzat a j akat.
i,j,k,l
(3.54)
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On retrouve la même forme d'expression que pour le calcul de la valeur moyenne
d'un opérateur sur les fonctions d'onde. L'opérateur
1
/ / va présenter des propriétés
analogues à celles de la fonction d'onde. Le passage de la mécanique classique à la
mécanique quantique se fait en transformant les observables physiques d'une fonction de l'espace en un opérateur agissant sur une fonction d'onde. Ici, l'étape suivante de complexification de la théorie consiste à remplacer la fonction d'onde par
un opérateur de champ. C'est pourquoi on parle de seconde quantification. La théorie
qui décrit l'évolution spatio-temporelle et l'interaction entre champs quantifiés est la
théorie quantique des champs. Ce n'est que dans ce formalisme que l'on peut décrire
des objets quantiques relativistes.
Ill Opérateurs création et annihilation
Soit deux bases orthonormées {cpd et {
Montrez que les opérateurs :
vérifient les relations de commutation des opérateurs création et annihilation.