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3.5. Opérateurs de champ
ces deux grandeurs en étendant 1 'espace euclidien à l'espace-temps de Minkowski. La
construction d'une théorie quantique relativiste doit donc concilier deux approches
très différentes de l'espace et du temps. L'extension naïve d'une fonction d'onde sur
l'espace à trois dimensions à l'espace-temps va faire que J plus constant au cours du temps. L'interprétation de la fonction d'onde comme l'amplitude de probabilité de présence de la pa1ticule ne sera plus possible, ce qui limite
l'intérêt de ce concept. Pour pallier ce problème on définit les opérateurs de champ
par:
(3.48)
n
n
(3.49)
n
n
Chaque terme de la somme correspond à un opérateur d'annihilation ou de création
de 1' état k, pondéré par l'amplitude de probabilité de trouver la particule dans l'état
k au point x. La somme sur tous les états permet de rendre compte de la création ou
de l'annihilation d'une particule au point x dans un état quelconque. Ces opérateurs
possèdent les mêmes propriétés de (anti)commutation que les opérateurs de création
et d'annihilation :
(3.50)
m,n
(3.51)
m,n
m,n
= ~ 'Pn(XJ (3.52)
n
De plus, l'opérateur IJl+(X)'F(X) vérifie:
J 'F+(X)'F(X)dx = ~ a~an J m,n
(3.53)
m
m
N est l'opérateur du nombre total de particules. 'F+(X)'F(X) peut donc s'interpréter comme un opérateur de densité de particules au point x. L'opérateur 'JI permet
d'étendre la notion de probabilité de présence associée à la fonction d'onde. Il faut
néanmoins noter que la grandeur intégrée n'est plus une fonction mais un opérateur.
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